Доведення. Наближаємося до точки (0,0) по прямій y = kx

Наближаємося до точки (0,0) по прямій y = kx.

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює

при границя дорівнює і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Відповідь. Доведено, що не існує.

Зауваження. Для функції змінних можна розглядати n! так званих повторних границь.

У частковому випадку для функції двох змінних z = f (x, y) можна розглядати дві повторні границі в точці (x₀, у₀):

Наприклад, для функції маємо:

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі не існує, але повторні границі існують:

Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція z = f (x, y) називається неперервною в точці Р₀ (х₀, у₀), якщо:

Означення. Функція z = f (x, y) неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію z = f (x, y), визначену на множині , називають неперервною за множиною в точці , якщо:

Означення. Точка (x₀, у₀) називається точкою розриву функції z = f (x, y), якщо:

1. функція z = f (x, y) не визначена в точці (x₀, у₀);

2. функція z = f (x, y) не визначена в точці (x₀, у₀), проте:

· не існує;

· існує, але не дорівнює f (x₀, у₀)

Означення. Точка (x₀, у₀) називається точкою усувного розриву функції f (x, y), якщо існує, але або f (x, y) не визначена в точці (x₀, у₀), або

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена на множині ,а змінні u і v, у свою чергу, залежать від змінних x і y: , причому обидві функції u(x, у) та визначені на множині D. Якщо для будь-якого існує значення , то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де ; u, v - проміжні, х, у - незалежні змінні.

Наприклад, функція , де Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді:

Теорема 1.5. Нехай на множині D визначено складену функцію , де і нехай функції неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де Тоді складена функція неперервна в точці (x₀, у₀).

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти області визначення та неперервності функцій:

а) ; б) ; в) .

2. Обчислити границі:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Знайти розриви функції:

а) ; б) ; в) .

Найбільше та найменше зна­чення функції в замкненій обла­сті

Нехай дано функцію , яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку?

Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон, величина описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певні обмеження на аргумент, тобто аргумент має певні межі.

Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до π, швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t₀ до t₁ та інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так:

1. знаходять критичні точки в інтервалі (a; b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто ;

3. серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень .

По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і b, тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b].

Розв’язання

На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі (-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

х=0

Знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

Отже,

.

Відповідь. .

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b].

Розв’язання

Функція визначена і неперервна на відрізку [-1; 1], диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну:

і прирівняємо її до нуля: х⁴+8х=0; х=0; х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1) функція має лише одну критичну точку х=0. Знайдемо значення функції в цій точці .

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

,

.

Отже,

,

Відповідь. ,

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти найбільше та найменше значення функції Z = x²y (4 – x - y) в трикутнику, обмеженому лініями х = 0, у = 0, х + у = 6.

2. Знайти найбільше на найменше значення функції в області D:

а) Z = 1 + x + 12y; D = {x ≥ 0; у ≥ 0; х + у ≤ 1};

б) Z = 1 + x²у; D = {х² + у² ≤ 1}.

Застосування диференціаль­ного числення функцій багатьох змінних до наближених обчис­лень

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів:

Наприклад, якщо , то

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f (x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f (x) (рис. 1,а - б).

z y y=f (x)

z=z (x, y) dy

dz

dy D x = dx

dx y x

x

a б

Рис. 1.

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

,

де - похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.

Приклад. Нехай та . Потрібно оцінити похибку функції .

Розв’язання

Маємо

Отже,

Відповідь. .

Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F (x, y) повний диференціал, отримуємо:

звідки .

Приклад. Знайти похідну якщо .

Розв’язання

Маємо

звідки .

Відповідь. у^/_х

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q = 10x₁+15x₂, де x ₁ та x ₂ -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x ₂ на ресурс x ₁ (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x ₂ на ресурс x ₁ в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x ₁, яка компенсує зменшення ресурсу x ₂ на одиницю).

Розв’язання

Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x ₁ за змінною x ₂ за умови сталого випуску Q:

.

Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x ₂ на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x ₁ на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 2).

x ₂

x ₁

1,5

Рис. 2.

Відповідь. MRTS = -1,5.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти значення повного диференціала функції , якщо х = 2, у = 3, ∆х = 0,005, ∆у = 0,02.

2. Обчислити наближено приріст функції при зміні х від х₁ = 3 до х₂ = 3,2 і від у₁ = 2 до у₂ = 2,5.

Тема 8.1. Невизначений інтеграл

Тема 8.2. Визначений інтеграл та його застосування

Тема 8.3. Диференціальні рівняння першого порядку

8.1. Невизначений інтеграл

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 267 - 273).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с.244 - 263).

3. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592с. (с. 442 - 463).

4. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656с. (с. 368 - 406).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Первісна функція. Невизна­чений інтеграл і його властиво­сті. Таблиця невизначених інте­гралів

Первісна функція. Невизна­чений інтеграл і його властиво­сті. Таблиця невизначених інте­гралів

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Приклад. Первісні для функції мають вигляд:

причому, F₁(x), F₂(x) — неперервні R, a F₃(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 1). У цьому прикладі первісні F_i(x) і = 1,2,3, знайдені методом добору із на­ступною перевіркою, використовуючи таблицю похідних функцій.

Теорема (про множину первісних). Якщо F(x) — первісна для функції f(х) на проміжку I, то:

1) F(x) + C — також первісна для f(x) на проміжку I;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути представлена у вигляді Ф(х) = F(x) + С на проміжку I. (Тут С = const називається довільною сталою).

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку I відрізняються між собою на сталу величину (рис. 1).

Означення. Операція знаходження первісних для функції f(x) називає­ться інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція немає первісних на цьому проміжку.

Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x) + С — загальний вигляд всієї мно­жини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(х) на проміжку I, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку I і позначається

(1)

де — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає у тому, що функція у= F(X) + С є рівняння однопараметричної сім'ї кривих, які одержуються одна з другої шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат (рис. 2).

Рис.2

Теорема (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

Зауваження. Виявляється є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегрованими».

a) Властивості, що випливають із означення невизначеного інтеграла:

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції

II. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ.

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто:

(2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто:

(3)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Метод інтегрування частинами

Цей метод базується на властивості невизначеного інтеграла (3). Мета методу — розкласти підінтегральну функцію на такі доданки, інтеграли від яких відомі або їх простіше інтегрувати, ніж початкову підінтегральну функцію.

Приклад.

Теорема. Якщо функції и(х) та v(х) мають неперервні похідні, то:

(4)

На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:

— при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу иdv, тобто f(x)dx = udv; при цьому функція и(х) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Приклад.

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів, що ілюструє наступний приклад.

Нижче наведені деякі типи інтегралів, при інтегруванні яких застосовують метод інтегрування частинами та показано вибір функцій и(х) та

(5)

де Р(х) — многочлен, Q(x) — алгебраїчна функція, а R.

Звичайно, не слід думати, що метод інтегрування частинами обмежує­ться застосуванням тільки до інтегралів типу (5).

В деяких випадках, після інтегрування частинами інтеграла одержуєть­ся рівняння, із якого знаходять шуканий інтеграл.

Приклад.

Отже, одержали рівняння G = e^х(cosx + sinx)-G, із якого знаходимо

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) — неперервна, а х = (t) має неперервну похідну, то:

(6)

Наслідок,

(7)

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не зале­жить від того чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису першого диференціа­лу), тому, наприклад:

В такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

Варіант заміни змінної інтегрування (x) = t (7) зручний тоді, коли підінтегральний вираз можна розкласти на два множники: f ( (x)) та ’(x)dx.

Приклад.

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблені стандартні замі­ни. Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстано­вок та досвідом.

При безпосередньому інтегруванні використовується формула (7) варіанту заміни змінної, але саму заміну не записують (її роблять усно) при цьому використовують операцію внесення функції під знак диференціала. Отже, якщо , то:

Зокрема, коли (х) є лінійною функцією, тобто (x)=ax+b, будемо мати:

Зауваження. Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок (значення диференціала при цьому не зміниться):