Доведення

Загальновідомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1) знайти область визначення функції та множину її значень;

2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.

Зауважимо, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:

1. якщо функція парна, то складна функція також парна;

2. якщо функція і непарні, то складна функція непарна;

3. якщо непарна, а функція парна, то складна функція парна;

4. якщо функція періодична, то і складна функція періодична, причому її період може бути меншим за період функції , але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.

Зручно користуватися такими твердженнями:

1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;

2. добуток парних функцій є парною функцією;

3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;

4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.

Приклад. Побудувати графік функції

Розв’язання

1) Область визначення функції f:

х= .

2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

;

х=0 – критична точка.

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

.

6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз.

На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

, .

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.

Будуємо графік (рис.1)

Рис. 1

Приклад. Побудувати графік функції:

Розв’язання

1. Область визначення функції f: .

2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3. Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .

4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну:

.

Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :

.

Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.

6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:

.

Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х= , – вертикальні асимптоти.

Будуємо графік (рис.2)

Рис. 2

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання

1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за виключенням значення х = 1.

Звідси її область визначення (-∞ <х< 1; 1 < х < + ∞).

2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

Як ліворуч, так і праворуч маємо нескінченний розрив. Точка х = 1 - точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

4. Знаходимо точку перетину графіка функції з осями координат:

з віссю Ох: у = 0; ; 2х - 1 =0; х= ; ( ; 0);

з віссю Оу: х = 0;у = ; (0;-1).

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл. 1:

; у' = 0 -2х= 0 х = 0 — критична точка. При х →1 у' → ∞, але у цій точці функція не існує. Дослідимо критичну точку х = 0 на екстремум:

при х = -1 у'= <0(-);

при х = у' = >0(+).

Таблиця 1

х	(-∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
у'	-	0	+	Не існує	-
у		min (-1)		Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з "-" на "+", через це в точці х = 0 функція має мінімум:

y_min = -1 / 1 = -1. У точці х = 1 функція не визначена. При 1< x <+∞, у'(х)<0 значить, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали випуклості й вгнутості графіка знаходимо за допомогою другої похідної:

; у"= 0

2(2х+1) = 0 х = ; при х = 1 у" не існує, але в цій точці і сама функція.

Дослідимо точку х = :

при х = -1 <0(-);

при х = 0 у"= 2 / 1 = 2>0(+).

Друга похідна, походячи через х = , змінює знак, значить, точка кривої з цією абсцисою є точка перегину. Знайдемо її ординати:

Таким чином, точка (; ) - точка перегину.

У точці х = 1 функція не визначена. При 1< х < + ∞ у" >0, значить, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 2

Таблиця 2

х	(-∞; )		(; 1)	1	(1; +∞)
у''	+	0	+	Не існує	+
у		Перегин ()		Не існує

7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо в вигляді у = kx + b:

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

На основі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки (рис. 3):

(-5;-0,3), (; 3), (2; 3),(3;1,3).

Рис.3

Приклади для самостійного розв’язування

1. Дослідити на екстремум і монотонність функцію f(x) = х³ – 3х + 1.

2. Провести дослідження та побудувати графіки функцій:

а) ; г) f(x) = 4x² – x⁴ – 3;

б) ; д) f(x) = x³ – 3x;

в) ; е) y = x - 2arctg x.

3. Знайти ділянки опуклості графіка кривої:

а) f(x) = x⁵ + 5x – 6;

б) f(x) = xe^x.

4. Знайти точки перегину кривої:

а) у = (х - 5) ^{5 / 3} + 2;

б) у = (х - 4)⁵ + 4х + 4.

Тема 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних

7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 238 - 262).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с.172 - 213).

3. Вища математика. Частина 1: Навчальний посібник. / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, О.С.Кондур. – Чернівці: Рута, 2002. – 191с. (с. 159 - 166).

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 211 - 219).

5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с.126 - 142).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Границя та неперервність функцій кількох змінних

· Найбільше та найменше зна­чення функції в замкненій обла­сті

· Застосування диференціаль­ного числення функцій багатьох змінних до наближених обчис­лень

Границя та неперервність функцій кількох змінних

Означення. Число А називається границею функцій z = f (x, y) при якщо для будь-якого існує число , таке що в разі виконання нерівності , справджується нерівність .

Позначають: , або .

Наслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція f (x, y) має границю при , то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція z = f (x, y) має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 1.3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки виконується нерівність то .

Наслідок. Якщо у деякому околі точки (x₀, у₀) і існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо , то виконуються нерівності:

1)

2)

3)

Означення. Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Приклад. Обчислити .

Розв’язання

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Відповідь. 127/6.

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо (f (x) - функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b. Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних z = f (x, y) наближення до точки (x₀, у₀) можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі х тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки (x₀, у₀) по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад. Довести, що не існує.