Доведення. Знайдемо довжини сторін трикутника ABC:

Знайдемо довжини сторін трикутника ABC:

= (-1 - 2; 6 - 2); ;

= (-5 - (-1); 3 - 6) = (-4; 3); ;

= (-5 - 2; 3 - 2) = (-7; 1); .

Використаємо теорему обернену теоремі Піфагора: якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату більшої сторони, то цей трикутник прямокутний.

Так як АВ² + ВС² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50 = АС², то трикутник ABC -прямокутний і величина кута ABC = 90°, що і треба було довести.

Відповідь. Трикутник з вершинами А(2; 2); В(-1; 6); С(-5; 3) - прямокутний.

Приклад. Знайти на вісі Оу точку М, яка знаходиться на відстані 5 одиниць від точки К(3;7).

Розв’язання

Так як точка М лежить на вісі Оу, то її абсциса дорівнює 0: М(0; у) Знайдемо ординату за умови, що

Знайдемо довжину KM за формулою ; .

За умовою . Розв’яжемо рівняння:

9 + (у -7)²=25,

(у - 7)²=16,

у - 7 = 4, у -7 = - 4,

у₁ = 11; у₂ = 3.

Отже, М₁(0; 3); М₂(0; 1).

Відповідь. М₁(0;3); М₂ (0;1).

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах =(2, 1, 0) та = (0, -2, 1).

2. Знайти координати векторів 2 + 5 та 2 - , якщо = (2, -4, 2), = (-3, 2, -1).

3. Дано вершини трикутника А (3, 2); В (-1, -1); С (11, -6). Знайти довжини його сторін і точку перетину медіан.

4. Відрізок між точками А (3, 2), В (15, 6) поділити на п’ять рівних частин. Знайти координати точок ділення.

5. Обчислити периметр і площу трикутника, якщо А (-2, 1), В (2, -2), С (8, 6).

3.2. Аналітична геометрія

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с.141 - 169).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 54 - 86).

3. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 82 – 108, 129 - 132).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 110 - 167).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Розв’язування задач на криві другого порядку

Розв’язування задач на криві другого порядку

Приклад. Знайти координати центра та радіус кола, якщо його рівняння подано у вигляді: 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Розв’язання

Для знаходження координат центру та радіуса кола дане рівняння необхідно звести до вигляду: (x – a)² + (y – b)² = R². Для цього виділимо повні квадрати:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Звідси знаходимо, що центр кола точка О(2; -5/4), а його радіус R = 11/4.

Відповідь. Центр кола точка О(2; -5/4), а його радіус R = 11/4.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус та нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

Розв’язання

1) Координати нижньої вершини: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Координати лівого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Для знаходження рівняння прямої, що проходить через лівий фокус та нижню вершину еліпса скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки:

Маємо:

Отже, 4х + 3у + 12 = 0 – шукане рівняння

Відповідь. 4х + 3у + 12 = 0.

Приклад. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F₁(0; 0), F₂(1; 1), а велика вісь дорівнює 2.

Розв’язання

Рівняння еліпса має вигляд: .

Відстань між фокусами: 2c = .

Таким чином, a² – b² = c² = 1/2. За умовою 2а = 2, відповідно а = 1, b =

Отже, рівняння еліпса: .

Відповідь. .

Приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої знаходяться в відповідних вершинах та фокусах еліпса .

Розв’язання

Для еліпса: c² = a² – b².

Для гіперболи: c² = a² + b².

Таким чином, рівняння гіперболи: .

Відповідь. .

Приклад. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса, заданого рівнянням

Розв’язання

Знаходимо фокальну відстань: c² = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c² = a² + b² = 16,

ε = c/a = 2; c = 2a;

c² = 4a²;

a² = 4; b² = 16 – 4 = 12.

Отже: - шукане рівняння гіперболи.

Відповідь. .

Приклад. На параболі у² = 8х знайти точку, відстань від якої до директриси дорівнює 4.

Розв’язання

З рівняння параболи маємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; Відповідно: x = 2; y² = 16; y = ±4.

Шукані точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Відповідь. M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Приклади для самостійного розв’язування

1. Визначити лінію, рівняння якої 2х²- 8х+ у²+6у+1= 0, та побудувати її.

2. Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої 3х+4у–12=0, обмежений осями координат.

3. Знайти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет Е=2 і фокуси збігаються з фокусами еліпса 9х² + 25у² = 225.

4. Знайти канонічне рівняння параболи, коли відомо, що її фокус міститься у точці перетину прямої 4х – 3у – 4 = 0 з віссю абсцис.

Тема 4.1. Задачі лінійного програмування

4.1. Задачі лінійного програмування

Література

1. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – Київ: Либідь, 2001. – 256 с. (с. 151 - 180).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 318 - 320).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Симплекс - метод розв’язування задач лінійного програмування

Симплекс-метод розв’язування задач лінійного програмування

У цьому питанні, на прикладі розв’язання однієї задачі практичного змісту, розглянемо алгебраїчний метод розв’язування задач лінійного програмування. Цей метод називається симплекс-методом. Він є одним із загальних методів, які дозволяють знайти розв'язок будь-якої задачі лінійного програмування за скінченне число кроків.

Задача. Припустимо, що виготовлення двох видів продукції П₁ і П₂ потребує використання чотирьох видів сировини С₁, С₂, С₃, С₄. Запаси сировини на виробництво є обмеженими. Запаси і кількість кожного виду сировини, яка є необхідною для виробництва кожного виду продукції, наведено в таблиці:

Види сировини	Кількість наявної сировини	Витрати сировини на виробництво
П1	П2
С1
С2
С3
С4

Прибуток підприємства від реалізації однієї одиниці продукції виду П₁, складає 7 грошових одиниць, продукції виду П₂ - 5 грошових одиниць. Потрібно скласти такий план випуску продукції, при якому прибуток підприємства від реалізації всієї продукції виявився б максимальним.

Розв’язання

Спочатку побудуємо математичну модель даної задачі. Позначимо через х₁ і х₂ план випуску продукції виду П₁ і П₂ відповідно. Тоді для виготовлення цієї продукції потреба у сировині є такою:

С₁ - 2х₁ + 3х₂ одиниць,

С₂ - 2х₁ + х₂ одиниць,

С₃ - х₂ одиниць,

С₄ - 3х одиниць.

Очевидно, що витрати сировини не повинні перевищувати наявних запасів, тобто мають виконуватися наступні нерівності:

2x₁ + 3x₂ <19,

2х₁ + х₂ <13, (1)

3x₂ <15,

3x₁ <18.

При цьому, виходячи із змісту задачі, x₁, х₂, х₃, х₄ є невідомими. Прибуток підприємства від реалізації складає

Z = 7x₁ + 5х₂ (2)

Тепер задачу можна сформулювати так: серед розв'язків системи нерівностей (1) потрібно знайти значення х₁ і х₂,за яких функція (2) набуває найбільшого значення і х₁ > 0, х₂ > 0 (3)

Дану задачу зведемо до канонічної форми задачі лінійного програмування. З цією метою введемо до розгляду нові невід'ємні змінні:

х₃ =19 - 2х₁ - 3х₁

х₄ =13- 2х₁ - х₂, (4)

х₅ =15 - 3х₂,

х₆ =18 - 3х,

Тоді систему (1) можна записати у вигляді

2х₁ +3х₂+х₃= 13,

3х₂ + х₅=15, (4¹)

3х₁ + х₆=18.

При цьому системи (4) і (4¹) є еквівалентними.

Отже, отримали канонічну форму задачі лінійного програмування: знайти невід'ємний розв'язок системи (4¹), для якого цільова функція Z набуває найбільшого значення.

Покажемо тепер, як ця задача розв'язується за допомогою симплекс-методу. В системі (4) змінні х₃, х₄, х₅, х₆ подано через x₁ і х₂. Поклавши х₁ = 0, х₂ = 0, дістанемо значення решти змінних: х₃ =19, х₄ = 13, х₅ = 15, х₆ = 18. Усі значення змінних є невід'ємними і задовольняють системі (4¹), а тому є допустимими. Таким чином, отримали початковий розв'язок системи (4¹) -початковий план:

(0;0; 19; 13; 15; 18).

При цьому Z = 0. Змінні х₁ і х₂, через які подано х₃, х₄, х₅, х₆, будемо називати вільними, а змінні х₃, х₄, х₅, х₆ - базисними. Далі будуватимемо новий план задачі таким чином, щоб при цьому значення цільової функції Z збільшувалося. Оскільки функція Z подається через змінні x₁ і х₂ та додатні коефіцієнти, то збільшення x₁ або х₂ буде спричинювати збільшення значення функції Z. Збільшимо, наприклад, значення x₁, а значення х₂ залишимо поки рівним нулеві. Перше рівняння системи (4) дозволяє збільшувати x₁ до 9.5, бо х₃ >0. Друге рівняння системи (4) дозволяє збільшити х₁ до 6.5, а четверте - до 6. Таким чином, для того, щоб усі змінні залишались невід'ємними, можна обирати значення х₁, які не перевищують 6. Покладемо х₁ = 6, тоді х₆ = 0. Подамо тепер усі змінні із системи (4) через х₂ і х₆:

х₁= 6 - х₆ / 3,

х₃=19 - 2(6 - х₆ / 3) - 3х,

х₄ = 13 - 2(6- х₆ / 3) - х₂,

х₅ =15-3х₂,

або

х₁ =6 – х₆ / 3,

х₃ = 7- 3х₂ + 2х₆ / 3, (5)

х₄ =13-х₂ +2х₆/3

х₅ =15 - 3х₂.

Цю систему можна записати у вигляді

х₁ + х₆ / 3 = 6

2х₂ + х₃ - 2х₆ / 3=7 (5¹)

х₂+х₄ - 2x₆ / 3=1,

3х₂+ х₅ =15.

функцію z також подамо через х₂ і х₆:

z =7(6 - x₆ / 3) +5х₂,

z = 42 + 5x₂ -7x₆ / 3. (6) Поклавши х₂ = 0, х₆ = 0, дістанемо із (5) новий план:

(6;0;7;1;15;0),

при цьому z = 42. Вільними змінними тепер х₂ і х₆, а базисними х₁, х₃, х₄, х₅.

Отже, при такому перетворенні до числа базисних змінних замість х₁ введемо х₆.

Таким чином, перехід до нового плану дозволив збільшити значення цільової функції z. З огляду на (6) зауважимо, що змінна х₂ має множником додатний коефіцієнт. Тому будемо намагатися збільшити значення х₂ з метою збільшення значення z. Щонайбільше х₂ може набути значення, яке дорівнює 1 (це випливає із системи (5)). При цьому х₄ = 0. Подаючи із системи (5) усі змінні через х₄ і х₆, дістанемо:

х₂ = 1 - х₄ + 2х₆ / 3

х₁ = 6 – х₆ / 6,

х₃ = 7 - 3(1 - х₄ +2х₆ / 3)+2х₆ / 3,

х₅ = 15 - (1- х₄ + 2х₆ / 3),

або

х₁ =6 – х₆ / 3

х₂=1- х₄ +2х₆ / 3; (7)

х₃ = 4+3 х₄ - 4х₆ / 3,

х₅ =2+ 3 х₄ - 2х₆ .

Цю систему можна записати у вигляді

х₁+х₆ / 3 = 6

х₂+х₄ -2х₆ / 3=1, (7¹)

х₃ - 3х₄+4х₆ / 3=4,

3х₄+х₅ - 2х₆ =12.

Функцію z також подамо через х₄ і х₆:

z = 42 + 5(1 - x₄ + 2x₆ / 3) -7x₆ / 3, (8)

z = 47- 5х₄ - х₆.

Поклавши х₄ = 0, х₆ = 0, дістанемо із (7) новий план

(6;1;4;0;12;0),

при цьому z = 47.

Тепер будемо збільшувати х₆. Найбільше значення, яке може досягати х₆, дорівнює 3. При цьому х₃ = 0. Подаючи із системи (7) усі змінні через х₃ і х₄, дістанемо:

х₆ =3-3х₃ / 4 + 9х₄ /4,

х₁=6 - (3-3х₃ /4 + 9х₄ /44) / 3,

х₂=1- х₄+2 (3-Зх₃ /4+9х₄ /4) / 3,

х₅ =12 + 3х₄ -2(3- Зх₃/4 + 9x₄/4),

або

х₅=5+ 1х₃ /4-3х₄ /4,

х₂=3-х₃/2 + х₄/2,

х₅=6 + 3х₃ / 2 - Зх₄ /2, (9)

х₆=3-3х₃ /4 + 9х₄ /4.

Цю систему можна записати у вигляді

х₁ –х₃ /4 + 3х₄/4 = 5,

х₂+х₃/2 - х₄/2 = 3, (9¹)

-3х₃/2 + 3х₄/2 + х₅=6,

-3х₃/4 + 9х₄/4 + х_б=3.

Функцію z також подамо через х₃ і х₄:

z = 47-5x₄+ (3-3x₃ /4 + 9x₄/4) (10)

z = 50 - Зх₃ / 4 -11х₄ / 4.

Поклавши х₃ = 0, х₄ = 0, дістанемо із (9) новий план

(5; 3; 0; 0; 6; 3),

при цьому z = 50.

Подальше збільшення значень z є неможливим, оскільки коефіцієнти при х₃ і х₄ в (10) є від'ємними, а х₃ > 0, х₄ > 0. Отже, 50 є найбільшим значенням функції в області, яка визначається системою нерівностей (1). Таким чином, серед розв'язків задачі (1) - (3) найбільше значення функція z набуває при х₁ = 5, х₂ = 3. Це означає, що для досягнення найбільшого прибутку від реалізації всієї продукції необхідно виготовити п'ять одиниць продукції П₁ і три одиниці продукції П₂. Прибуток підприємства при цьому складає 50 грошових одиниць. Насамкінець, зауважимо стосовно розглянутого алгоритму, що:

1) на кожному кроці до базису включали одну із вільних змінних; вибір нової базисної змінної визначався наявністю додатного коефіцієнта в цій змінній у виразі цільової функції;

2) вибір нової базисної змінної може бути неоднозначним (якщо декілька
змінних у виразі для цільової функції мають додатні коефіцієнти). В цьому випадку вибирають ту змінну, коефіцієнт якої є найбільшим;

3) змінна, яку виключають з базису, визначається з умови максимального
збільшення цільової функції так, щоб значення всіх змінних залишались невід'ємними. Для того, щоб вибрати цю змінну, знаходять відношення вільних
членів до коефіцієнтів при змінній, яку включають до базису (для додатних коефіцієнтів). Найменше з цих відношень і визначає змінну, яку виключають з
базису. Зрозуміло, що практичні задачі, як правило, мають значно більший обсяг, ніж задача, яку ми розглянули. В загальному випадку про використання
рисунків і геометричних побудов не може бути й мови. Однак за допомогою
симплекс-методу такі задачі розв'язують порівняно легко.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти оптимум функцiї: z = 5x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 6x₄ → max симплекс-методом при обмеженнях:

2. Нехай маємо задачу лінійного програмування з обмеженнями-нерівностями:

Необхідно мінімізувати лінійну функцію z = 5x₁ – 2x₃.

Тема 5.1. Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції

5.1 Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с.173 - 194).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003.- 640 с. (с. 156 - 176).

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1987. – 464 с. (с. 134 – 144, 187 - 194).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 209 - 241).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій

· Дослідження основних властивостей функції: області визначення, парності, непарності функції, періодичності за аналітичним заданням функції

Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.

Розглянемо дві змінні величини .

Означення. Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна або аргумент;

у — залежна змінна або функція;

f — символ закону відповідності;

D — область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Спектр використання функцій в економіці дуже великий - від найпростіших лінійних функцій до функцій, які отримані за деяким алгоритмом, що зв'язує рекурентні відношення, досліджуваних об'єктів у різні періоди часу. Періодичність ряду економічних процесів, їх коливання дозволяють використовувати також і тригонометричні функції.

Найбільш часто в економіці використовують функції:

1. Функція попиту - залежність об'єму попиту, запропонування, потреби на різні товари та послуги від ціни, доходу і т. д.

2. Функція корисності - в широкому змісті залежність корисності або результату, ефекту дії від інтенсивності цієї дії.

3. Виробнича функція - залежність результату виробничої діяльності від факторів, що її зумовлюють.

4. Функція випуску - залежність об'єму виробництва від матеріальних ресурсів та попиту.

5. Функція витрат - залежність витрат виробництва від об'єму продукції.

У зв'язку з тим, що економічні процеси та явища зумовлюються дією різних факторів, для їх дослідження широко використовуються функції багатьох змінних. Використовуються також сепарабельні функції, які дають можливість виділити вплив різних факторів змінних на залежну величину, адитивні функції, що являють собою одну і ту ж змінну як при сумарному впливі деяких факторів, так і при одночасній їх дії, так дії кожного фактора окремо. Функції багатьох змінних будуть розглянуті пізніше.

Якщо дією деяких факторів можна знехтувати, або зафіксувати ці фактори на певному рівні, то вплив одного з них вивчається за допомогою функції однієї змінної.

Так, залежність попиту на різні товари від прибутку задається функціями Торкнвіста:

Якщо дослідити ці функції, то можна встановити рівень прибутку а₁, а₂, а₃ при якому починається закупка тих чи інших товарів та рівня їх насиченості b₁, b₂ для групи товарів першої та другої необхідності (рис. 1)

Розглянемо в одній системі координат криві попиту та запропонування. Графіки дають можливість встановити ринкову ціну даного товару за умов конкурентного ринку (павутинна модель (рис. 2).

Прикладів застосування функцій можна запропонувати дуже багато.

Зупинимося ще на використанні в економіці таблиць функцій, що дають можливість різні розрахунки включити або спростити великі обчислення.

При обчисленні за допомогою таблиць аргумент задається більш точно, ніж дозволяє таблиця. В цьому випадку використовують інтерполяцію - наближеному знаходженню невідомих значень функцій по відомих її значеннях в заданих точках. Найпростішою є лінійна інтерполяція, при якій допускається, що приріст функції пропорційний приросту аргументу. Якщо задане значення х лежит між приведеними значеннями та , яким відповідає значення функції та , то вважають, що, - інтерполяційні поправки. Ці величини обчислюються за допомогою таблиці. Якщо по заданих значеннях функції необхідно знайти наближене значення аргументу, то проводять обернену інтерполяцію.

рис.1

рис. 2

Приклад. Функція задана таблицею:

		1,02	1,06
	2,04	2,28	3,08

Використовуючи лінійну інтерполяцію, знайти .

Розв’язання

Оскільки

.

Тепер за інтерполяційною формулою:

Знайдемо

Відповідь. f(1,004) = 2,0088.

Способи задання функції:

1. Описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат.

2. Формулою, наприклад, s = v · t, y = 2x - 3.

3. Таблицею, наприклад,

x	1	2	3	4	5
y	-1	1	6	5	7

4. Графіком.

Означення. Функція у = F(u), де и = (х), називається складною функцією, або суперпозицією функцій F(u) та (х) і позначається у = F( (х)).

Наприклад, — складна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2^u, и = v², v = sin x.

Означення. Нехай функція у = f(х) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f(x) і її позначають

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:

Наприклад, - взаємно обернені функції:

Графіки взаємно обернених функцій си­метричні відносно прямої у = х (рис. 3.).

Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається неявною, якщо задана рівнянням F(x, у) = 0, яке не розв'язане відносно змінної y.

Наприклад, рівняння у+х+2 ^у=0 ви­значає неявну функцію у від х.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Продаж товару в залежності від дня місяця підкоряється закону . Побудувати графік функції та знайти кількість проданого товару за 7, 12 та 14 днів місяця.

2. Знайти область визначення функцій:

а)

б)

в)

3. Дослідити на парність та непарність функції;

а) в)

б) ^; г)

4. Побудувати графіки функцій:

а) г)

б) д)

в) е)

5. Дано: Обчислити:

Дослідження основних властивостей функції: області визначення, парності, непарності функції, періодичності за аналітичним заданням функції

Означення. Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчисли­ти значення функції, називається природною областю визначення функції.

Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад. Знайти область визначення функції

Розв’язання

D(y)=(-1; 0) (0; 1] - природна область визначення. Якщо за умо­вою задачі х — відстань, а це означає, що х 0, тоді D(y)=(0; 1] — зада­на область визначення.

Відповідь. D(y)=(-1; 0) (0; 1].

Означення. Функція у = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f(-x) =f(x) (f(-x) = -f(х)).

Означення. Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(-x) f(x).

Наприклад, у = cos х — парна функція (графік функції симетричний від­носно осі ординат (рис. 1)), бо у(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 2)), бо у(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx — ні парна, ні непарна (рис. 3), бо у(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).

Означення. Функція у = f(x) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f(x+Т) = f(x -T) = f(x), де число Т — період функції.

Наприклад, у = tgx — періодична функція з мінімальним періодом Т =

(див. рис. 4), бо tg(x + ) = tg(х - ) = tgx.

Означення. Функція у = f(x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 — деяке скінченне число.

Наприклад,: y = arcsinx — обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 5), бо

Означення. Функція у - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Наприклад, у = log_a х — монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 6).

Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева у = х^а;

1) степенева у = х^а;

2) показникова у = а^х, а > 0, а 1 (рис. 7);

3) логарифмічна у = log_а х, а > 0, а 1 (рис. 6);

4) тригонометричні: у = cosx (рис. 1); у = sinx (рис. 8); у = tgx (рис. 4); у = ctgx (рис. 9);

5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 5); y = arccosx (рис. 3); у = arctgx (рис. 4); у = arcctgx (рис. 10).

Рис. 7 Рис.8

Рис. 9 Рис. 10

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгеб­раїчних дій та суперпозицій, наприклад

- елементарна функція.

Означення. Функція у=у(х) називається алгебраїчною, якщо у(х) — розв’язок рівняння де Р_і(х), i = (О,n) — многочлени.

Наприклад, функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння .

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

або

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти область визначення функції

2. Знайти область визначення функції

3. Визначити, які з заданих функцій парна, а які непарні:

а) ;

б) ;

в)

Тема 6.1. Похідна функції та диференціал

Тема 6.2. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків

6.1. Похідна функції та диференціал

Література

1. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валеєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 199 - 216).

2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1987. – 464 с. (с. 286 - 323).

3. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 303 – 326, 335 - 338).

4. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.427-455).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання

· Похідні функцій, заданих неявно та параметрично

· Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень

· Похідні та диференціали вищих порядків

Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и (t) відображає кількість виробленої продукції и за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент t₀.

За період часу від t₀ до t₀ + t кількість виробленої продукції зміниться від значення и₀ = u(t₀) до значення и₀ + и = u(t₀ + t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу Z_cep = и / t. Очевидно, що продуктивність праці в момент t₀ можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t₀ до t₀ + t при t → 0, тобто:

Z =

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай х – приріст продукції, тоді у - приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна — виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична користь, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величина), а процес зміни економічного об’єкта. Таким чином, похідна виступає якшвидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об’єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об’єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно використовувати граничні величини.

Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як добуток ціни одиниці продукції p на кількість продукції q, тобто r = pq.

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозиції певної продукції, а отже і її ціну. При цьому, як правило, зі збільшенням ціни попит на продукцію падає. Вважає, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту p(q) є лінійна спадаюча функція p=aq+b, де а<0, b>0. Звідси сумарний доход від реалізованої продукції складає r = (aq+b)q = aq²+bq (див. рис. 1). В цьому випадку середній доход на одиницю продукції r_cep= r / q = aq+b, а граничний прибуток, тобто додатковий доход від реалізації одиниці додаткової продукції, складатиме r'_q= 2aq+b (див. рис. 1). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.

В умовах досконалої конкуренції, коли на ринку функціонує велика кількість учасників і кожна фірма не спроможна контролювати рівень цін, стабільна реалізація продукції можлива при домінуючій ринковій ціні, наприклад, р=b. При цьому сумарний прибуток складатиме r=bq і відповідно середній прибуток r_сер = r / q = b; граничний прибуток r'_q =b (див. рис. 2). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Рис. 1 Рис. 2

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Означення. Еластичністю функції Е_х(у) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при x → 0:

(1)

Еластичність функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція y=f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (1) , де tg α - тангенс кута нахилу дотичної в точці М(х;у) (див. рис. 3). Враховуючи, що з трикутника MBN: MN = х tga, MC = у, а з подібності трикутників MBN та АМС: , отримаємо Е_х(у) = , тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відстаней по дотичній від даної точки графіка до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то еластичність Е_х(у) додатня (див. рис. 3), якщо по різні сторони, то Е_х(у) від'ємна (див. рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Властивості еластичності функції:

1.Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції Т_у = (lп у)' = , тобто:

Е_х(у)= х ∙ Т_у

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці)
еластичностей цих функцій:

E_x(uv) = E_x (u) + E_x(v), E_x () = Е_x (u) – E_x(v).

3. Еластичності взaємообернених функцій - взаємообернені величини:

Е_х(у) = (2)

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу x) - коефіцієнт, що визначається за формулою (1) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) | Е_х(у) | >1, то попит вважають еластичним, якщо | Е_х(у) | <1 - нееластичний відносно ціни (або доходу). Якщо | Е_х(у) | =1, то мова йде про попит з одиничною еластичністю.

Визначним, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на сумарний прибуток Z = pq при реалізації продукції. Вище ми вважали криву попиту p=p(q) - лінійною функцією; тепер припустимо, що p=p(q) — довільна функція. Знайдемо граничний прибуток

z'_q =(pq)' = р'_q ∙ q + р ∙1 = p (1 + ) = р(1 + Е_q(р))

Відповідно з формулою (2) для еластичності взаємообернених функцій еластичність попиту відносно ціни обернена еластичності ціни відносно попиту, тобто E_q(p) = , а також те, що Е_р(q) <0, отримаємо при довільній кривій попиту

r'_q = p

Якщо попит не є еластичним, тобто | E_p(q) | <1, то відповідно до (2) граничний доход r'_q буде від'ємний при будь-якій ціні; якщо попит еластичний, тобто | Е_р(q) | >1, то граничний прибуток r'_q додатний. Таким чином, для нееластичного попиту зміна ціни та граничного прибутку відбуваються в одному напрямку, а для еластичного попиту — в різних. Це означає, що зі зростанням ціни для продукції еластичного попиту сумарний прибуток від реалізації продукції збільшується, для товарів нееластичного попиту - зменшується. На рис. 1 на кривих прибутків виділені області еластичного та нееластичного попиту.

Приклад. Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х³ (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

Розв’язання

Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням у_сер = =50 - 0,05х³; при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють у_сер = (10) = 50 - 0,05 ∙ 10² = 45 (грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною у'(х) = 50 - 0,15х²; при х = 10 граничні витрати складають у' (10) = 50 - 0,15∙10² = 35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Відповідь. Середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., граничні витрати складають 35 грош. од.

Приклад. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош. од.) виражається функцією у = - 0,5х + 80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.

Розв’язання

За формулою (1) еластичність собівартості

При х = 60 Е_{х= 60(у)} = - 0.6, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош.од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Відповідь. Е_{х= 60(у)} = - 0,6.

Приклад. Задопомогою досліду були встановлені функції попиту та пропозиції s = р + 0.5, де q та s - кількість товарів відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р - ціна товару.

Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноваженої.

Розв’язання

а) Рівноважна ціна визначається з умови q = s, =р + 0.5, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.

б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (1):

, .

Для рівноважної ціни р = 2 маємо Е_p=2(q) = - 0.3; E_{p = 2(s)} = 0,8. Так як отримані значення еластичності за абсолютно. Величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна не приведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 ∙ 0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.

Відповідь. а)рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.; б) Е_p=2(q) = - 0,3; E_{p = 2(s)} = 0,8; в)прибуток зросте на 3,5%.

Означення похідної функції

Нехай функція у=f(х) визначена в точці х і «біля неї». Якщо х змінюється на величину (приріст змінної х), то значення функції зміниться на величину (приріст функції у). Тоді

Означення. Похідною функції у=f(х) в точці х називається границя відношення приросту функції до приросту змінної (аргументу), якщо приріст змінної прямує до нуля:

Похідна позначається як у' або у'_х (вказується змінна по якій береться похідна), або

Геометричний зміст похідної: Значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці з додатнім напрямком осі ОХ.

Механічний зміст похідної:

Якщо задано функцію , за допомогою якої можна визначити положення точки для будь-якого моменту часу, то рух вважається заданим, а рівняння – рівнянням руху.

Так, в момент часу t точка знаходиться в точці М на відстані . Розглянемо момент , коли точка знаходиться в точці М1 на відстані