Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема. Будь-який вектор на площині можна розкласти єдиним чином за базисними векторами, тобто
Коефіцієнти розкладу х і у цього вектора називаються координатами вектора в даній системі координат і записують = (х; у).
Довжина вектора .
Якщо вектор задано двома точками А(хА;уА), В(хВ;уВ), то координати вектора визначаються за формулою: АВ = (хв-хА; ув-уА).
Дії над векторами в координатній формі
На площині | В просторі |
= (х1 ; у1); = (х2 ; у2) | = (х1 ; у1; z1); = (х2 ; у2; z2) |
Сума | |
+ = (х1 + х2; у1 + у2) | + = (х1 + х2; у1 + у2; z1 + z2) |
Різниця | |
- = (х1 - х2; у1 - у2) | - = (х1 - х2; у1 - у2; z1 - z2) |
Множення вектора на число | |
k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1) | k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1; k ∙ z1) |
Кут між векторами | |
Відстань між двома точками | |
Означення. Скалярним добутком двох векторів = (х1; у1; z1) та = (х2; у2; z2) називається число .
Теорема. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
З цієї теореми випливає, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.
Властивості скалярного добутку:
1) ;
2) ;
3) ;
4) Якщо , то ; якщо , то .
Виходячи з формул скалярного добутку векторів, кут між векторами можна обчислити наступним чином:
Приклад. Знайти модуль вектора 4 - 3 , якщо = (2; -3), =(-4; 1).
Розв’язання
Знайдемо координати векторів 4 і 3 :
4 = (8; -12); 3 =(-12; 3)
Знайдемо координати різниці векторів 4 - 3 :
4 - 3 = (8 - (-12); -12 - 3) = (20; -15)
Знайдемо абсолютну величну вектора 4 - 3 :
Відповідь. 4 - 3 =25.
Приклад. При якому значенні m вектори = (m; -4) і = (-2; 3) перпендикулярні.
Розв’язання
Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:
x1x2 + y1y2 = 0
Підставимо координати векторів і
-2m + (-4) ∙ 3 = 0;
-2m - 12 = 0;
-2m = 12;
m = - 6.
Отже, вектори і перпендикулярні при m = - 6.
Відповідь. m = - 6.
Приклад. Дано точки B (-1; 3); С(8; -12). Знайти координати точок М і N, які ділять відрізок на три рівні частини.
Розв’язання
Точка N ділить відрізок ВС у відношенні
Тоді ;
Підставимо в ці формули координати точок В і С.
Маємо: ;
Отже, N (5;7).
Точка М ділить відрізок BN навпіл, тоді: ;
Підставимо координати ; .
Отже, М(2; -2).
Відповідь. М(2; -2).
Приклад. Довести, що трикутник з вершинами А(2; 2); В(-1; 6); С(-5; 3) - прямокутний.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 536 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!