Елементи теорії кореляції

Якщо розглядаються дві випадкові величини, то між ними можуть бути такі форми залежності:

а) функціональна залежність,

б) стохастична залежність, коли зі зміною значення однієї величини змінюється розподіл другої величини;

в) кореляційна залежність, коли умовне середнє значення однієї величини функціонально залежить від другої величини.

Нехай результати вибірки із двовимірної сукупності подано в табличній формі:

Y Х			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…	…
			…
			…			—
			…		—	—

Якщо розглядати таблицю за рядками, то кожному значенню відповідає деякий розподіл випадкової величини Обчислимо для цих розподілів умовні середні значення Отже, Аналогічно, розглядаючи таблицю за стовпцями, також визначаємо умовні середні величини , Знову маємо залежність виду

Рівняння, які виражають умовні середні, називаються кореляційними рівняннями або рівняннями регресії другого роду. У кореляційному аналізі розглядаються такі задачі:

1) визначити за кореляційною таблицею форму залежності між випадковими величинами, тобто вид функціональної залежності

2) оцінити тісноту залежності, тобто визначити ступінь розсіювання можливих значень однієї випадкової величини відносно лінії регресії, якщо одна із величин набуває певних значень.

Для визначення форми залежності між X i Y за результатами розрахунків у кореляційній таблиці в системі координат XOY відкладаємо точки Якщо ці точки розміщені на лінії, яка близька до прямої, то можна вважати, що залежність має лінійний характер, тобто рівняння регресії подається у вигляді , або аналогічно За допомогою методу най­менших квадратів можна визначити коефіцієнти рівнянь регресії: Коефіцієнти — коефіцієнти регресії. Отже, лінійні рівняння регресії мають вигляд:

Лінії регресії перетинаються в точці яка називається центром кореляції. Тіснота зв’язку в разі лінійної залежності оцінюється коефіцієнтом кореляції. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин називається середнє геометричне значення коефіцієнтів регресії, яке має знак останніх:

Коефіцієнти регресії виражаються через коефіцієнт кореляції за такими формулами:

аналогічно . Тоді рівняння регресії мають вигляд: .

Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиницю. Якщо , то величини не пов’язані лінійною залеж­ністю, але при цьому між ними можливий нелінійний кореляційний зв’язок. Якщо r зростає за абсолютною величиною від нуля до одиниці, то тіснота зв’язку зростає, і, якщо то кореляційна залежність перетворюється на функціональну і прямі регресії зливаються в одну пряму. Обчислення параметрів, які входять у рівняння регресії, спрощується, якщо перейти до умовних змінних і умовних моментів розподілу.

Приклад 1.4.1 У результаті обстеження одержано статистичний розподіл 100 підприємств за виробничими фондами Х, млн грн, і добовим виробітком Y, т.:

Y Х

Визначити форму залежності між X i Y, знайти рівняння ліній регресії і тісноту зв’язку.

Розв’язання. Знаходимо умовні середні і

Результати обчислень перенесемо в таблицю. У ній перейдемо до умовних змінних, узявши

v u	–3	–2	–1
–2								12,5
–1								21,4
								29,2
								29,3
			65,8	75,6	72,5	81,3

Для визначення форм залежності проаналізуємо, як змінюються умовні середні зі зміною випадкових величин. Зі зростанням х умовна середня також зростає, а при зростанні умовна середня в основному зростає. У системі координат XOY відкладемо множину точок значком «» а множину точок – значком «» (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 – Графіки рівнянь регресії

Із рис. 1.6 бачимо, що кожна із груп побудованих точок розміщена приблизно на деякій прямій, дещо відхиляючись від неї. Рівняння прямих шукаємо у вигляді:

За даними останньої таблиці знаходимо умовні моменти розподілу:

Щоб знайти коефіцієнт кореляції, обчислимо середнє значення добутку умовних змінних:

Знайдемо значення решти параметрів, які входять до рівняння регресії: Запишемо рівняння ліній регресії: