Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу

Оцінка параметра розподілу сукупності у загальному випадку є випадковою величиною, яка визначається за даними вибірки і використовується замість невідомого значення параметра, який потрібно оцінити. Оцінка називається обґрунтованою, якщо вона збігається за ймовірністю до відповідного параметра при Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра. У разі вибору з усіх відомих незміщених обґрунтованих оцінок певної оцінки потрібно зазначити критерій, за яким зроблено вибір. Найчастіше застосовується критерій, який полягає у виборі оцінки, що має найменшу можливу дисперсію. Така оцінка називається ефективною.

Нехай маємо точкову оцінку параметра . Знайдемо для параметра інтервальну оцінку, скориставшись умовою В такому разі називається точністю оцінки, а g – її надійністю. Тоді інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра q набуває вигляду . Параметр q – це випадкова величина, надійність g можна розглядати як імовірність того, що довірчий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з об’ємом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Нехай ця величина розподілена за нормальним законом. Побудуємо інтервальну оцінку математичного сподівання за значенням вибіркового середнього для двох випадків:

1. Якщо відомо середнє квадратичне відхилення , то довірчий інтервал для математичного сподівання має вигляд: де – об’єм вибірки, – таке значення аргументу функції Лапласа , для якого , тобто .

2. Параметр нормального закону розподілу ознаки генеральної сукупності невідомий. У цьому випадку інтервальна оцінка параметра із заданою надійністю визначається за формулою: , де , – точкова оцінка параметра , виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення – критична точка розподілу Стьюдента, значення якої можна знайти з таблиць по відомим і .

Для оцінки генерального середнього квадратичного відхилення при заданій надійності можна побудувати довірчий інтервал де – значення, що визначається таблицями.

Приклад 1.2.1 Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини, якщо об’єм вибірки , , , а довірча ймовірність .

Розв’язання. Визначимо , при якому : . Тоді , або .

Приклад 1.2.2 Дана вибірка значень нормально розподіленої випадкової величини: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Знайти с довірчою ймовірністю границі довірчих інтервалів для математичного сподівання та дисперсії.

Розв’язання. Об’єм вибірки . Знайдемо , . За таблицями визначимо ; . Тоді , – довірчий інтервал для математичного сподівання; ; ; – довірчий інтервал для дисперсії.