Лекция 1. Однофакторные производственные функции

Возможности любого производства отражаются характером зависимости между объемом выпускаемой продукции и соответствующими ему затратами сырья, полуфабрикатов, энергии, капиталовложений, труда и т.д. Всевозможные виды затрат называются факторами производства или ресурсами. Факторы производства имеют различные измерения (тонны, метры, киловатт-часы и др.). Общей единицей измерения всех ресурсов может служить рубль или другая денежная единица. Поэтому удобно иметь дело со стоимостным выражением как факторов производства, так и выпускаемой в результате их использования продукции.

Определение.Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство, называют однофакторной производственной функцией.

Функция, в которой роль независимой переменной играют затраты, а зависимая переменна определяет уровень выпуска, называется функцией выпуска. В функции затрат, наоборот, независимая переменная- выпуск, а зависимая- затраты.

Пример 1. Если затраты прямо пропорциональны объему выпуска , то функция затрат имеет вид

.

С помощью однофакторных производственных функций описывается также зависимость объема выпускаемой продукции от затрат некоторого специфического вида ресурса (трудовые ресурсы, основные производственные фонды, объем капиталовложений, различные виды сырья и др.). При этом затраты всех других участвующих в производстве ресурсов считаются постоянными.

Пример 2. С помощью функции вида

можно охарактеризовать зависимость урожайности некоторой сельскохозяйственной культуры от количества внесенных удобрений.

При отсутствии удобрений урожайность составляет единиц. С увеличением объема используемых удобрений урожай сначала возрастает и при достигает наибольшего значения.

Дальнейшее наращивание затрат удобрений оказывается неразумным, так как приводит к снижению урожая и даже полной его потере при (рис.1).

Пример 3. Гиперболическая зависимость

применяется, например, для моделирования зависимости затрат на единицу выпускаемой продукции от объема производства (рис.2). Величина уменьшается с увеличением , это означает, что с увеличением объема производства доля затрат неограниченно убывает.

При большом объеме производства () удельные затраты лишь незначительно отличаются от ().

Пример 4. Экспоненциальная производственная функция

используется, например, для исследования динамики изменения объема производств с течением времени (рис.3).

В начальный момент времени объем производства . Крутизна кривой на рис. 3 зависит от коэффициентов .

Зависимость имеет место ив следующей ситуации. Если на банковский счет кладется сумма , то через лет на счете будет сумма , если банк выплачивает % годовых.

Пример 5. Показательная функция

может моделировать влияние затрат переменного ресурса на выпуск продукции, если уровень выпуска не может быть больше некоторой предельной величины . Так как , то с ростом неограниченно убывает, а возрастает. Если , то . При выпуск равен (рис.4).

Пример 6. Степенная производственная функция

обычно описывает ситуации, в которых рост затрат некоторого ресурса ведет к неограниченному увеличению выпуска . Насколько быстро растет зависит от величины параметров (рис. 5).