Общая схема исследования функции. Экстремумы. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

Общая схема исследования функции. 1. Находим область определения D(x). 2. Находим точки разрыва второго род, обозначаем вертикальные асимптоты. 3. Исследуем функцию на четность/нечетность, периодичность. 4. Находим точки пересечения с Ox и Oy. С Ox: x=o, y-?. C Oy: y=0, x-? 5. Находим наклонные асимптоты, если они есть. 6. Исследуем функцию на наличие критических точек. Решаем уравнение . 7. Определяем промежутки монотонности. 8. Находим вторую производную и точки, для которых она равна 0 или не существует. 9. Находим промежутки знакопостоянства второй производной. 10. Составляем таблицу. 11. на основе таблицы определяем точки локального экстремума и точки перегиба.

. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: . Док-во: Пусть, для определенности, -точка максимума. Значит, в окрестности точки выполняется неравенство . Но тогда , если >0, и , если <0. По условию теоремы производная существует. Переходя к пределу, при , получим , если <0 и , если >0. Поэтому: . Теорема (достаточное условие экстремума): Если непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой -окрестности и критической точки и при переходе через нее 9слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то -точка минимума. Док-во: рассмотрим -окрестность точки . Пусть выполняются условия: и . Тогда функция f(x) возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение f(x) в точке является наибольшим на интервале , т.е. f(x)<f() для всех . Это и означает, что - точка максимума функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a,b], либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:

1) найти критические точки функции на интервале (a,b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.