Квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x ₁, x ₂, …,x _n называется функция вида

где a_ij = a_ji (i, j = 1, …,n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (a_ij) (i, j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её угловые миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, начиная с отрицательного, причём . Здесь у гловыми минорами матрицы называются определители вида

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: Форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы симметричной относительно главной диагонали, т. е. подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).

приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.