Теорема Лагранжа, ее применение. Теоремы Коши, Ферма

Теорема Коши: Если функции f(x) и непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство .

Теорема Лагранжа: Теорема (Лагранж). Пусть и выполняются условия:

1) функция непрерывна на ;

2) дифференцируема на .

Тогда существует :

Доказательство. Пусть . Рассмотрим функцию :

Из условия теоремы ясно, что функция непрерывна на и дифференцируема на . Подберем и так, чтобы

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда существует : .

Это так же является формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой точке этого отрезка. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.