Преобразование Ганкеля нулевого порядка

Система с осевой симметрией описывается функцией , не зависящей от угла j. В разложении по углу (8.93)

,

остается лишь слагаемое . Тогда преобразование Фурье–Бесселя (8.100)

,

,

ипреобразование Фурье в полярных координатах (8.91) и (8.92)

,

переходят в преобразование Ганкеля нулевого порядка

,

. (8.101)

В результате функция с осевой симметрией имеет Фурье-образ с осевой симметрией.

Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:

1) Для кольцевой функции радиусом a из (8.101) и (8.97а) находим

,

. (8.102)

Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка; образом Ганкеля для функции Бесселя нулевого порядка является дельта-функция.

2) Для кулоновской функции с учетом условия нормировки (8.14а)

,

из (8.101) получаем

. (8.103)

Образом Ганкеля для кулоновской функции является кулоновская функция.

3) Для постоянной из (8.101) получаем

,

, (8.104)

где использовано (8.49), (2.2) и (8.13). Образ Ганкеля для постоянной выражается через дельта-функцию.

4) Круговая функция равна единице в круге радиусом a и нулю за его пределами, и обобщает прямоугольную функцию:

(8.105)

Обозначение происходит от лат. circularis – «круговой». Используя

(П.9.1)

при , , , и теорему о парах функций, находим

,

. (8.106)

Образ Ганкеля для круговой функции выражается через функцию Бесселя первого порядка.