Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x ® ¥

Используем (8.12а)

находим

. (8.63)

Из (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x ® 0

Используем (8.11)

,

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

, ,

при

.

Из (8.57)

выражаем

,

.

Получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только . Используя , находим

, . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

3. Из (8.67) и (8.62)

, ,

следует

. (8.68)