Отношения между высказываниями

Простые высказывания А и В назовем сравнимыми, если их термины совпадают с точностью до перестановки.

Простые высказывания А и В назовем несравнимыми, если в высказывании В встречается хотя бы один термин, не входящий в А.

Пример 1. Высказывания «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все веселые люди являются студентами» сравнимы, а высказывания «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все студенты являются находчивыми людьми» ‑ несравнимы, так как во втором суждении встречается термин не входящий в первый.

Для того, чтобы определить отношение сравнимости и несравнимости между сложными высказываниями (формулами) А и В, строится совместная таблица истинности. Вход таблицы строим как для высказывания , т.е. на входе выписываем объединение множества переменных из А и В, а затем вычисляем отдельно истинностные значения высказываний А и В на этом совместном наборе.

Пример 2. Рассмотрим формулы и . Объединением множества переменных будет . Совместная таблица имеет вид:

p	q	r

Из совместной таблицы видим, что встречаются все возможные комбинации истинностных значений: (0 1), (1 1), (0 0), (0 1). См. строки 1, 2, 3, 4.

Формулы А и В назовем несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации.

В примере 2 формулы и ‑ несравнимые.

Формулы А и В назовем сравнимыми, если в совместной таблице среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.

Пример 3. Суждения и сравнимы, потому что в совместной таблице отсутствует комбинация истинностных значений (0 1).

p	q

Сравнимые высказывания А и В одновременно истинны (ложны), если они принимают значение «И» («Л») в одной и той же строке совместной таблицы.

Среди сравнимых высказываний будем различать совместимые и несовместимые.

Совместимыми назовем высказывания, одновременно истинные или принимающие во всех строках совместной таблицы одни и те же значения.

Несовместимыми назовем высказывания, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках совместной таблицы одни и те же значения.