Элементы теории статистических решений

Наиб. простым является случай, когда какая-то из стратегий человека превосходит другие- на ней и следует остановиться. Если в матрице игры нет доминирующей стратегии, следует сравнить почленно между собой строки, с целью вычёркивания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий.

Затем для принятия решений в условиях полной неопределённости использ- ся след. критерии:

1) Максиминный критерий Вальда.

В качестве лучшей выбирается та стратегия, при кот. её минимальный выигрыш максимален.

w = Pj

2) Критерий крайнего оптимизма (авантюристический).

Предполагается, что состояние природы будет наиб. благоприятным для игрока А, поэтому он должен выбрать стртегию, обеспечивающую максимальный выигрыш среди максимально возможных

A= max max a_ij

3) Критерий оптимизма- пессимизма Гурвица.

При выборе решения, вместо 2-х крайностей в оценке ситуации следует придерживаться некоторой промежуточной позиции: игрок А должен для кажд. своей стратегии опр-ть линейную комбинацию максимального и мин-го выигрыша, а затем выбрать ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей.

H = max (X max a_ij+ (1- X) min a_ij)

X- степень оптимизма человека (0=< X=<1)

4) Критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Строится матрица рисков (сожалений). Её элементы показывают какой убыток понесёт игрок А, если для кажд. состояния природы не выберет наилучшего решения. Риском r_ij при выборе решения aij при условиях Pj наз- ся разность м/у максим. выигрышем, кот. можно получить при состоянии природы Pj и выигрышем, кот. получит игрок при этом состоянии, применяя стратегию ai

rij= max aij - aij.

Т.О., для построения матрицы рисков:

1. в кажд. столбце платёж. матрицы опред- ся наиб. элемент

2. эл-т матрицы рисков получается вычитанием соответствующего эл- та платёж. матрицы из максимального эл- та данного столбца.

Согласно критерию Сэвиджа в качестве лучшей рекоменд- ся выбрать стратегию, обеспечивающую миним. значение максим- го риска.

S= min max r_ij

5) Принцип недостаточного основания Лапласа

Можно считать, что все состояния природы равновероятны и для выбора оптимальной стратегии следует воспольз- ся критерием максимума математического ожидания выигрыша.

L= max 1/n

Полезно рассмотреть ситуацию с точки зрения всех перечисленных критериев, если рекомендации совпадают; можно смело выбирать предлагаемую ими стратегию.

6) В условиях риска (если известны вероятности наступлений состояний природы) решение принимается при помощи критерия Байесса- Лапласа. Для кажд. своей стратегии игрок А опр- т сред. выигрыш и в качестве лучшей выбирает ту, для кот. сред. выигрыш максимален

BL= max *Qj

Эти вероятности Q1; Q2; … Qn м. оценить, основываясь на частотах появления состояния природы в прошлом.