Модели прогнозирования. Задачи управления запасами

Управление запасами заключается в определении стратегии функционирования складских систем. Основная причина создания запасов связана с тем, что обычно невозможно или экономически невыгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них возникает спрос. При отсутствии запасов потребителю приходится ждать, и это приводит к определенным затратам. Кроме того, в пользу создания запасов говорят изменения в уровне цен.

К необходимости уменьшения запасов приводят затраты, связанные с их хранением, и омертвление средств, вложенных в создание запасов, ухудшение их качеств при хранении и т. д. Таким образом, возникает проблема определения оптимального по некоторому критерию размера запаса. Управление запасами заключается в определении моментов пополнения запасов и размера заказа на пополнение.

Совокупность правил, по которым принимается это решение, называется стратегией управления запасами. Каждая такая стратегия связана с определенными затратами. Оптимальная стратегия управления запасами должна приводить к минимизации этих затрат.

Применение для решения задач управления запасами математических методов приводит к описанию системы, которое называется математической моделью. Решение задачи заключается в построении математической модели системы и изучении ее свойств.

Системы управления запасами могут иметь различную сложность, но мы ограничимся рассмотрением простых систем, состоящих из одного склада и одного источника снабжения. Многие задачи управления запасами относятся к этому классу, и здесь возникают достаточно интересные математические проблемы. Кроме того, более простые, приближенные модели могут быть исследованы более глубоко и приводят к достаточно хорошим результатам.

Историческая потребность в использовании математических методов возникла в результате усложнения производства. Впервые вывод формулы размера партии был сделан Ф. Харрисом в 1915 году. Затем эта формула была получена многими исследователями. Постепенно, уже в рамках исследования операций, стали рассматриваться более сложные модели с учетом случайного характера процессов, происходящих в системах управления запасами.

3.3.1.Основные понятия управления запасами

Рассмотрим качественное описание работы простой системы управления запасами, состоящей из склада, источника и потребителя.

На склад поступает поток требований от потребителей, характеризующий спрос на товары. Эти требования удовлетворяются до тех пор, пока их суммарный объем не превысит начального уровня запаса. Последующие требования не могут быть удовлетворены сразу, следовательно, потребитель несет некоторые убытки, а система должна выплачивать штраф. Этим штрафом могут быть, в частности, потери, которые несет система в результате уменьшения числа клиентов, неудовлетворенных ее работой. Запас время от времени пополняется из источника, причем с этим связаны дополнительные расходы, помимо того, что склад несет расходы по хранению запаса. Управление запасами заключается здесь в установлении объема заказа и моментов пополнения с тем, чтобы суммарные затраты на хранение, штрафы и поставку товара были минимальны. Дополнительно могут существовать некоторые ограничения в работе системы, например, максимальный объем запаса не должен превышать вместимости склада, время хранения определенных товаров должно быть ограничено и т. д.

На этом простом примере можно уже выделить основные элементы задачи управления запасами.

1.Складская система.

2.Спрос на товары.

3.Возможность пополнения запасов.

4.Затраты на функционирование системы.

5.Ограничения в работе системы.

6.Стратегия управления запасами.

3.3.2. Классификация моделей управления запасами

Различия в упомянутых элементах приводят к различным моделям управления запасами. Рассмотрим эти элементы более подробно

3.3.3. Складская система

Складская система представляет собой совокупность пунктов, необходимых для хранения товаров и связанных между собой в процессе их распределения. Когда существует несколько пунктов, то взаимодействие между ними может иметь различный характер. Один из самых распространенных случаев состоит в том, что определенный пункт служит складом для одного или нескольких других пунктов. Это приводит к складской системе иерархической структуры. Уровни иерархии этой структуры называют эшелонами. Такие системы часто можно привести к простейшей схеме, рассмотренной выше, заменяя одним источником несколько пунктов, связанных с данным складом.

3.3.4. Спрос на товары

Величина спроса характеризуется количеством товара, требующимся потребителю в течение определенного периода времени. Спрос может быть постоянным и не зависеть от времени или переменным, с известным законом изменения во времени. Обычно спрос известен лишь в вероятностном смысле, т. е. существует некоторое распределение вероятностей спроса. Соответствующий случайный процесс в общем случае будет нестационарным, но при медленном изменении характеристик процесса его можно считать стационарным.

Будем рассматривать случаи, когда спрос является постоянным с заданной интенсивностью или случайным с дискретным распределением. Из-за случайности спроса будут существовать периоды, когда запас на складе отсутствует. В этом случае возможность обслуживания может быть различной – требование или теряется или учитывается, и потребитель ждет, когда система сможет его удовлетворить.

3.3.5. Возможность пополнения запасов

Пополнение запасов на складе происходит после требования к источнику на партию товаров определенного объема. Заказанная партия может поступать сразу – практически мгновенно – или постепенно, с некоторой известной интенсивностью поставки. Иногда товары поступают с задержкой, причем время от момента заказа до момента поставки может быть постоянным или случайным.

3.3.6. Затраты на функционирование системы управления запасами

Затраты, связанные с работой системы управления запасами, имеют основное значение при выборе стратегии функционирования. Обычно учитываются затраты на поставку товаров, на содержание запасов и затраты, возникающие при отсутствии товара на складе.

Затраты на поставку состоят из стоимости товара, затрат на перевозку его к месту хранения и издержек на оформление заказа. Затраты на содержание запасов включает стоимость эксплуатации склада и различные потери, возникающие при хранении запаса. Затраты, связанные с дефицитом, могут иметь форму штрафов за неудовлетворенный спрос.

Будем рассматривать случаи, когда затраты на поставку постоянны или пропорциональны объему партии, затраты на хранение пропорциональны количеству хранимого товара и длине периода хранения, затраты при дефиците пропорциональны количеству недостающего товара и длине периода дефицита.

3.3.7. Стратегия управления запасами

Составление математической модели системы управления запасами производится с целью определения оптимальной стратегии функционирования системы, что сводится к выбору таких управляемых переменных модели, при которых суммарные затраты за время работы системы минимальны. В качестве таких управляемых переменных мы будем рассматривать объем поставляемой партии и период пополнения запасов.

В вероятностных моделях управления запасами требуется минимизировать средние затраты.

3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами (модель 1)

Рассмотрим задачу управления запасами товаров, на которые существует постоянный спрос. Интенсивность спроса, т.е. количество заявок на детали в единицу времени, обозначим через h. Отсутствие товаров на складе не допускается. Предполагается, что товары поступают на склад партиями объема п, а затраты на поставку одной партии– С l–постоянны и не зависят от объема партии. Затраты на хранение одной детали в единицу времени обозначим через Сs.общее время работы системы – Θ.

Задача состоит в определении такого объема партии n и периода пополнения запасов Т, при которых суммарные затраты на функционирование системы будут минимальны. В данном случае суммарные затраты состоят из затрат на поставку и затрат на хранение товаров. Пара чисел (n, Т) составляет стратегию функционирования системы; нас интересует оптимальная стратегия (n, Т).

График зависимости уровня запаса на складе от времени

n

T время

Θ

Рис.3.6..

Здесь для определенности предполагается, что в начальный момент времени на складе находится вся партия объема n. Кроме того, пусть в период работы системы Θ укладывается целое число периодов пополнения запаса Т. тогда величина Θ /Т представляет собой число периодов пополнения запаса или число партий, поступающих на склад за время работы системы.

Система работает следующим образом: в начальный момент времени на складе п единиц товара, затем уровень запаса на складе начинает убывать с интенсивностью h и падает до нуля. Так как отсутствие товаров не допускается, то в этот момент времени на склад должна быть поставлена партия объема п. Здесь поставку можно считать мгновенной. Этот процесс повторяется до момента Θ с периодом Т.

Напишем функцию затрат. Затраты за один период состоят из затрат на поставку одной партии С l и затрат на хранение. Эти слагаемые пропорциональны времени хранения Т и среднему количеству хранимых товаров n2. Таким образом, суммарные затраты за период Т равны:

Cl+Cs*T*n/2

Общие затраты за время О составляют:

(Cl+Cs*T*n/2)* Θ /T

Учитывая, что

n =h*T

T=n/h

Суммарные затраты можно записать как функцию от n:

Г(n)=(Cl+Cs*T*n/2)* Θ /T

В этом выражении параметры h, Сl, Сs и Θ предполагаются известными. Необходимо найти оптимальный размер no, т. е. Такое значение n> 0, при котором функция принимает минимальное значение. Будем считать n непрерывной переменной. Тогда, используя необходимое условие экстремума функции Г(n) Г’(n)=0, получим

(-Cl* Θ *h/n)+Cs* Θ /2=0

Откуда, учитывая, что n>0:

no= 2*Cl*h/Cs

Найдем вторую производную

Г”(n)=2*Cl*Θ*h/n³

Так как Г”(n)>0 при любых n>0, то n-точка абсолютного минимума функции Г(n).

Для случая дискретного спроса, когда n принимает натуральные значения, формула для n дает приближенное значение оптимального размера партии. Это значение нужно округлить до целого в большую и меньшую сторону и сравнить значения затрат Г(n) в обеих точках. Точка, соответствующая меньшему значению Г(n), и будет в этом случае давать величину оптимального размера партии.

Найдем теперь оптимальный период пополнения запасов. Учитывая, что

Тo=no/h

Получим

Тo= 2*Cl/(h*Cs)

Вычислим теперь затраты при оптимальном размере партии:

Гo=Θ * 2*Cl*h*Cs

Таким образом, поставленная задача полностью решена. Дополнительно изучим чувствительность функции Г(n), т.е. найдем, изменятся затраты при отклонении размера партии от оптимального. Для этого определим зависимость величины Г/Гo от n/no:

Г/Го=1/2[(no/n)+(n/no)]

Оказалось, что величина Г/Гo непосредственно не зависит от параметров системы Сl,Сs,h, Θ.

В окрестности оптимального значения no значение функции Г/Гo мало меняется, т.е. отклонение размера партии от оптимального приводит к небольшому увеличению затрат. Например, если значение n будет в два раза больше (или меньше) оптимального, то затраты увеличатся лишь на 25%

3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2)

В модели 1 предполагалось, что все поступившие требования на товары удовлетворяются, т. е. Отсутствие товара на складе не допускалось.

Теперь рассмотрим более общий случай, когда дефицит запасов допускается, а заявки, пришедшие во время отсутствия товара, учитываются и затем, начиная с момента поставки, сразу удовлетворяются.

Обозначим через Ср затраты, связанные с нехваткой одной единицы товара в единицу времени в течении периода дефицита. Эти затраты могут представлять собой штрафы за отсутствие товара, стоимость учета заявок и т. д. Очевидно, что если за дефицит не штрафуют (Ср =0), то «выгодно» не иметь запаса вообще. Если же штраф достаточно велик, то дефицит допускать не следует. При промежуточных значениях Ср «выгодно» иметь определенный период дефицита.

График зависимости уровня запаса на складе от времени

n

T₂

T₁

Т

Рис.3.7.

Период пополнения запасов Т разобьем на два: Т₁ –период наличия товара на складе, Т₂ – период дефицита. Кроме объема партии n, необходимо ввести величину s - максимальный уровень запаса на складе. Остальные обозначения такие, как в модели 1: h -интенсивность спроса, Сl – затраты на поставку одной партии, Сs – затраты на хранение одной единицы товара в единицу времени, Θ – время работы системы.

Затраты за период Т состоят из затрат на поставку одной партии, затрат на хранение товара и штрафа за дефицит.

Так как товары хранились на складе в течение периода Т₁, а их среднее количество за этот период s/2, то затраты на хранение за период Т будут равны Сs*Т₁*s/2.

В период дефицита Т₂ средняя нехватка составляет (n-s)/2 единиц товара, поэтому штраф за дефицит будет равен Ср*Т₂*(n-s)/2.

Суммарные затраты за период Т:

Сl+Сs*Т1* s/2+Ср*Т2*(n-s)/2

Общие затрата за время Θ:

Г(n,s)=(Сl+Сs*Т1*s/2 +Ср*Т2*(n-s)/2)*Θ /Т

Здесь, как и в модели 1, существует связь между некоторыми параметрами, а именно

Т₁*h=s, Т₂*h=n-s, Т*h=n