Модели процессов теплообмена

При построении математических моделей теплообменных аппаратов предварительно проводится структурный анализ по выявлению количества и видов однородных потоков тепловой энергии, имеющих место в аппарате. Для каждого потока записывается математическое описание в виде выражения, характеризующего изменения температуры в потоке теплоносителя во времени, обусловленное движением потока и теплопередачей [3, 5]. Предварительно формулируются допущения.

Если структура потока теплоносителя соответствует модели идеального перемешивания, то для математического описания этого потока можно использовать уравнение (3.8) с учетом теплопередачи:

, (3.8)

где V – объем потока идеального перемешивания, м³;

r – плотность теплоносителя, кг/м³;

– удельная теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг×К);

u – объемная скорость потока, м³/с;

F – поверхность теплообмена, м²;

a – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²×К);

(Т _ст – Т) – разность температур стенки и теплоносителя, К;

Т _вх – температура потока на входе, К;

t – время, с.

Если структура потока соответствует модели идеального вытеснения, то для математического описания потока можно использовать уравнение (3.8) с учетом теплопередачи:

, (3.9)

где S _в – площадь поперечного сечения потока, м²;

L – длина зоны идеального вытеснения, м;

l – пространственная координата, изменяющаяся от 0 до L;

Т=Т (l, t) – функция распределения температуры потока теплоносителя по пространственной координате во времени.

Обычно в уравнениях (3.8) и (3.9) принимают коэффициент теплоотдачи, плотность и теплоемкость теплоносителя постоянными в исследуемом ограниченном интервале изменения температуры. Предполагается, что объемные скорости потоков остаются постоянными.

Cоставим математические модели некоторых типов теплообменных аппаратов.

Теплообменник типа «перемешивание-перемешивание» (рис. 3.1)

Примем, что тепло передается от первого потока теплоносителя ко второму. Режим движения потоков – идеальное перемешивание.

Рис. 3.1. Схематическое изображение теплообменника
типа «перемешивание-перемешивание»

· Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителей, можно пренебречь, то математическая модель аппарата будет состоять из двух уравнений типа (3.8):

(3.10)

где К _Т – коэффициент теплопередачи.

· Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителя, пренебречь нельзя, то необходимо к уравнениям (3.10) добавить уравнение изменения температуры:

(3.11)

где G ₃ – вес стенки, кг;

С ₃ – удельная теплоемкость металла стенки, ;

Т ₃ – температура стенки,К;

a₁, a₂ – коэффициенты теплоотдачи, Вт/м²×К.

Теплообменник типа «перемешивание – вытеснение» (рис. 3.2)

Рис. 3.2. Схематическое изображение теплообменника
типа «перемешивание – вытеснение»

· Без учета тепловой емкости стенки:

; (3.12)

с начальным условием Т ₂(l,0) = T ₂₀(l) и граничным условием Т ₂(0, t)= T ₂₀(t).

· С учётом теплоёмкости стенки:

;

; (3.13)

с начальным условием Т ₂(x,0) = T ₂₀(x) и граничным условием Т ₂(0,t) = T ₂₀(t).

Теплообменник типа «вытеснение-вытеснение» (рис. 3.3)

Рис. 3.3. Схематическое изображение теплообменника
типа «вытеснение-вытеснение»

· Без учета тепловой емкости стенки:

; (3.14)

с начальными условиями Т ₁(l,0) = T ₁₀(l) и Т ₂(l,0) = T₂₀(l)

и граничными условиями:

для прямотока Т ₁(0, t) = T ₁₀(t), Т ₂(0, t) = T ₂₀(t);

для противотока Т ₁(0, t) = T ₁₀(t), Т ₂(L, t) = T ₂₀(t).

· С учётом теплоёмкости стенки:

;

; (3.15)

с начальными условиями и граничными условиями, заданными для системы (3.14). Если необходимо учесть влияние теплоемкости внешней стенки, то добавляем еще одно уравнение, соответствующее теплообмену одной среды с внешней стенкой, и система общих уравнений (3.15) примет вид:

;

;

;

,

где G ₄, C ₄ – вес и удельная теплоёмкость металла внешней стенки, изолированной от окружающей среды;

F ₄ – поверхность теплообмена между потоком теплоносителя с температурой Т ₁ и внешней стенкой;

a₄ – коэффициент теплоотдачи.

В условиях стационарного режима, когда

,

получаем Т ₁ = Т ₄, т. е. температура наружной стенки равна температуре среды, обменивающейся теплом со стенкой. Наличие толстых стенок сказывается на характере переходных процессов в аппаратах, но не на характере стационарного режима их работы.