Линейность, монотонность, аддитивность и общая оценка определенного интеграла

Прежде всего заметим, что интеграл от функции является числом, сопоставляемый заданной функции согласноданному ранее определению, поэтому это число не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральнойфункции, то есть от обозначения переменной интегрирования.

1. . Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице, поэтому при любом разбиении τ = все интегральные суммы Римана равны b − a:

2. Линейность интегралов.

Теорема 10. Если f(x) и g(x) интегрируемые на отрезке [a; b] функции, то их линейная комбинация αf(x) + βg(x)

также является интегрируемой на отрезке [a; b] функцией, причем

2.11

Доказательство. Каковы бы ни были разбиения τ = отрезка [a; b] с диаметром |τ | и точки ξi ∈[ ; ], i = 1 до nимеет место равенство

где (αf + βg), (f), (g) - интегральные суммы функции αf (x)+ βg (x), f (x), g (x) соответственно. Так как функции f (x), g (x) интегрируемы на [ a; b ], то существуют пределы , ,а тогда и

А это и означает, что функция αf(x) + βg(x) интегрируема на [a; b] и имеет место равенство (2.11).

Равенство (2.11) выражает линейность интегралов.