Понятие определенного интеграла. Необходимое условие существования интеграла Римана

Теорема 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция f(x) не ограничена на отрезке [a; b] и пусть фиксировано некоторое разбиениеτ = {x_i}i=ni=0 этого отрезка. В силу неограниченности функции f(x) на всем отрезке [a; b], она не ограничена по крайней мере на одном отрезке разбиения τ. Пусть для определенности функция f(x) не ограничена на отрезке [x₀; x₁]. Тогда

на этом отрезке существует последовательность ξ₁^(m)∈ [x₀; x₁], m = 1, 2,..., такая, что

Зафиксируем теперь каким-либо образом точки ξi∈ [x_i−1; x_i], i = 2, n. Тогда сумма

будет иметь определенное значение. Потому, в силу (1.2)

и, следовательно, каково бы ни было число M> 0, всегда можно подобрать такой номер m0, что если на первом отрезке[x₀; x₁] взять точку ξ₁^(m0), то

Отсюда следует, что суммы στ не могут стремится ни к какому конечному пределу при |τ | → 0. Полученное противоречие доказывает теорему Условия ограниченности функции f(x), будучи необходимыми для ее интегрируемости, не являются вместе с тем достаточными. Действительно, рассмотрим функцию Дирихле

Рассмотрим эту функцию на отрезке [0;1]. Она, очевидно, ограничена на нем. Покажем, что она не интегрируем по Риману. Зафиксируем произвольные разбиения τ = {x_i}i=ni=0 отрезка [0; 1]. Если выбрать точки ξ_i∈ [x_i−1; x_i], i = 1, рациональными, то получим

а если взять ξiиррациональными, то

Так как это для любого разбиения τ, то интегральные суммы στ заведомо не стремятся к пределу при |τ | → 0.