Классы интегрируемых функций

Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.

Доказательство. Очевидно, что если τ = {x_i}i=ni=0 - разбиение отрезка [a; b] диаметра |τ | <δ, то f(x) непрерывна на

частичных отрезкахE_k. Согласно теореме Кантора она равномерно непрерывна на каждом E_k. Этоозначает

Тогда

т.е. выполнено достаточное условие интегрируемости. Теорема 5. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] за исключением конечного числа точек и ограничена на нем, то f(x) интегрируема на [a; b]. Доказательство. Так как f(x) ограничена на [a; b], то существует A > 0, что

Тогдаω(f,E) < A, где E = [a; b]. Пусть функция f(x) имеет ` точек разрыва c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>,..., c`. Пусть ε > 0 – произвольное фиксированное число. Возьмем δ₁ = ε/8Al. Построим окрестности V_δ1 (ci), i = 1, l точек c_i. Обозначим Возьмем произвольное разбиение τ ={x_i}i=ni=0 отрезка E диаметра |τ | <δ<δ1.Запишем соответствующие интегральные колебания

которые представим в виде двух сумм

где Σ₁ относится к тем отрезкам разбиения, которые не имеют с U общих точек, Σ₂ соответствует остальным отрезкам из E.Тогда для слагаемых Σ₁ можно дать следующую оценку (смотри доказательство теоремы 4)

Поэтому

Оценим Σ₂. Прежде всего заметим, что для слагаемых Σ₂ имеем ω(f,Ek) < A. Сумма длин частичных отрезков не

превосходит числа

В итоге

т.е. выполнено достаточное условие интегрируемости.

Теорема 6. Если функция f(x) монотонна на отрезке [a; b], то она интегрируема на [a; b].
64. Критерий Дарбу интегрир. Ф-ций.

Теорема 9 (Критерий Дарбу). Для того, чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема по

Риману, необходимо и достаточно, чтобы были равны ее верхний и нижний интегралы Дарбу.

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция f(x) интегрируема на [a; b]. Так как s_τ<= I_∗<= I^∗<= S_τ, то 0 <= I^∗ − I_∗<= S_τ − s_τ, и

так как для интегрируемой функции

то I^∗ = I_∗

Достаточность. Если f(x) ограничена на отрезке [a; b] функция и I^∗ = I_∗, то, в силу теорем 7 и8

что и означает интегрируемость функции f(x) на отрезке [a; b].