Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства

Пусть f ∈ R[a; b]. Тогда согласно лемме 1 она интегрируема на любом отрезке [a; x] ⊂ [a; b]. Рассмотрим функцию

Эта функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 17. Если f∈R[a;b], то при любом x∈[a;b] определена функция (3.20) и F(x) ∈ C[a; b].

Доказательство. Существование интеграла (3.20) при любом x ∈ [a; b] следует из леммы 1, поэтому остается проверить

непрерывность функции F(x). Поскольку f∈C[a;b], то|f(x)|≤M<∞ на [a; b]. Пусть x ∈ [a; b] и x+h∈ [a; b]. Тогда в силу аддитивности интеграла получаем

Отсюда следует, что lim_h→0|4F(x)| = 0, а это и означает, что функция (3.20) непрерывна в каждой точке x∈ [a; b].

Теорема 18. Если f∈R[a; b] и функция f(x) непрерывна в некоторой точке x∈ [a; b], то функция F(x), определенная

на [a; b] формулой (3.20), дифференцируема в этой точке x, причем имеет место равенство F’(x) = f(x).

Доказательство. Пусть x∈ [a; b], x + h∈ [a; b]. Оценим

Так как f(x) непрерывна в точке x, то

∀ε>0 ∃δ>0: ∀t∈[a;b] |t−x|<δ⇒|f(t)−f(x)|<ε.

Пусть |h| < δ. Тогда

Отметим, что если x = a или x = b, то под F(x) понимаем соответствующие односторонние производные.

Теорема 19. Каждая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную, причем

любая первообразная функции f(x) на [a; b] имеет вид

(3.21)

где C - некоторая постоянная.

Доказательство. Поскольку f∈C[a; b], то f∈R[a; b], поэтому, на основании теоремы 18, функция (3.20) является

первообразной для f(x) на [a; b]. Но две первообразные Φ(x) и F(x) одной и той же функции на отрезке могут отличаться

на этом отрезке только на постоянную, поэтому Φ(x) = F(x) + C.