Распределение случайных ошибок одинаково при любых значениях У

Наличие 3^х ограничений превращает общий случай распределения в указанный на рис.1б.

Общее уравнение прямой на графике имеет вид: У_с = кХ+b (1)

Надо: Получить такие выражения для к и b, чтобы сумма квадратов отклонений переменной У от этой прямой была минимальной.

Пусть У_с – точное значение У при любых значениях Х. Тогда (У – У_с) – отклонение при любом значении Х.

Необходимо (согласно условиям) миминизировать Σ(У – У_с)² или Σ(У – kX – b)²

В этом случае должны выполняться следующие соотношения:

или (2) (3)

Если имеется п отсчетов, то уравнение (2) после дифференцирования имеет вид:

nb + kΣX = ΣУ ( здесь db = nb,)(4)

а уравнение (3) имеет вид bΣX + kΣX² = ΣXУ (5)

Решая уравнения (4) и (5) как систему, находим:

и . (6) (7)

Если известно, что функция ХУ проходит через начало координат, то в этом случае b = 0 (в формуле (1)) и получаем простое выражение для (8)

Подстановка в (6) и (7) экспериментальных данных и последующие вычисления утомительны и приводят к результатам, имеющим большие числа.

Некоторые упрощения вычислений с помощью двух несложных приемов:

1. Находим средние значения Х_т и У_т и выбираются преобразованные переменные Х¹=Х - Х_т и У¹=У-У_т. При этом начало координат временно переносится в центральную точку распределения. В этом случае ХУ и Х² сокращаются..

2. Проводится (на глаз) приближенная прямая, проходящая близко к исследуемой и с помощью этой прямой оцениваются приближенные значения двух постоянных А и В. При этом координаты приближенной прямой известны (в виде U= KХ+B (9)

где kи Bнам известны. Из формул (1) и (9) получаем уравнение для разности (U – У):

U – У = (K – k)X = (B – b) (10)

Обозначив (U – У)= У¹, k¹ = (K-k) иb¹= (B-b) по формулам (6) и (7) рассчитываем коэффициенты k¹ и b¹.

Далее определяем: K = k –k¹иb = B –b¹. Определяя значения двух точек: например

Х = 0 (Х = Х_min) и Х = Х_max, по ним строим прямую.

Пример: Проверяется зависимость снижения температуры в трубе парового отопления от ее длины.

При неизменных окружающих условиях получены следующие данные:

Изменение ΔТ˚С
Длина трубы Lм

Вопрос: Какого рода график можно построить на основе этих данных применяя метод наименьших квадратов и что можно сказать об этих данных в целом (как охарактеризовать)?

Решение: Допустим, что график функции имеет вид прямой, которую можно построить «на глаз» и найти приближенные значения К и В для подстановки в уравнение.

Определение температуры для всей трубы может привести к неудовлетворительной точности в оценке ΔТ^˚С в следствие наличия градиентов в любом заданном поперечном сечении. В то же время мы считаем, что значение L точно определено.

Приближенная прямая проведена на глаз с угловым коэффициентом, равным 1 для облегчения вычислений (см. рис.15).

Рис. 15. Графическое изображение данных

На графике показаны: приближенная прямая __ __; наилучшая прямая, построенная методом наименьших квадратов ____.

Тогда уравнение прямой принимает вид: ΔU = KX + B = 1·L + 0, где U – температура ^˚С, L – длина трубы (м)

Уравнение для разности (10) имеет вид: ΔU – ΔT = (1-k) L+ (0-b), т.к. для приближенной прямой k = 1; b = 0.

Для дальнейшего упрощения вычислений перенесем оси координат.

При этом ΔТ¹ = ΔТ – 12; ΔU¹= ΔU – 12; ΔL¹ = L – 12.

Полная таблица вычислений:

ΔT	L	ΔU=1·L	ΔТ1=ΔT-12	ΔU1= ΔU – 12	ΔL1 = L – 12	ΔU1 – ΔT1	(L1)2	L1(ΔU – ΔT1)
			-7 -5	-8 -4	-8 -4	-1 -3 -4 -2		-4 -16 -16
n=5					ΣX = 0	ΣУ= -9	ΣХ2= 160	ΣХУ= -28

Применяя формулы (6) и (7) получаем: = - 1,8; b = 1,8

Эти численные значения были получены для преобразованной системы координат.

ΔТ – 12 =1,18(L - 12) +1,8 или ΔТ = 1,18L – 0,4.

Полученное уравнение – прямая на графике, построенная по данным, полученным способом наименьших квадратов.

Известно, что значение В должно быть равно нулю, а не0,4.

Эта небольшая величина отрезка, отсекаемого на координатной оси, не должна быть причиной, чтобы считать полученные результаты неудовлетворительными.

В этом простом случае перенос координат осей и использование приближенной функции позволяют достаточно наглядно проиллюстрировать эти методы.

Поскольку принятая нами модель - бесконечная последовательность идентичных кривых нормального распределения, расположенных вдоль наилучшей прямой, задаем вопрос:

Каковы показатели точности этих нормальных распределений?

Среднеквадратическое отклонение: S² = , где х – отклонение произвольного отсчета относительно наилучшего значения.

Решение: Составим таблицу данных для каждой из 5 ^ти точек, куда запишем истинные значения (т.е. полученное методом наименьших квадратов), а также измеренные значения

L	1,18L	ΔТнаим кв = 1,18L – 0,4	ΔТизмер	(ΔТнаим кв – ΔТизм)2
	4,75 9,5 14,2 19,0 23,7	4,35 9,1 13,8 18,6 23,3		0,42 4,412 1,45 1,97 1,7

Σ = 9,96

Тогда = 1,56˚C

Если известно, что полученные точки образуют кривую и с помощью простых алгебраических преобразований нельзя получить линейный график, то методом наименьших квадратов необходимо подобрать некоторый многочлен с несколькими постоянными

Если случайную ошибку невозможно сконцентрировать в переменной У и она наблюдается как для переменной Х, так и для У, то необходимо применить более трудоемкий метод наименьших квадратов.

Если точность переменных Х и У меняется при изменении Х и У, то в разных частях области, определенной заданием, данные должны иметь различный вес. Правильная оценка весов (значимости) дает представление о том, каким образом происходит изменение точности.

Исследование функций графическими методами

Имея данные, которые в определенной системе координат могут быть представлены в виде прямой, надо найти ее уравнение. Такое уравнение обычно называется эмпирическим, т.е. его находят по эмпирическим данным, а не из теоретических соображений.

Основная задача эксперимента – выбор и преобразование системы координат т.о., чтобы полный набор данных давал по возможности прямую линию.

Если полученные данные не образуют прямой на графике, то можно попытаться построить график в логарифмических координатах (или наносить логарифмы значений Х и Y на линейную графическую бумагу – миллиметровку).

В логарифмических координатах график простой функции Y = kX^a имеет вид прямой. (11)

Переходя к логарифмам получим: log Y = log k + a log X, (12)

где k и а – согласующие постоянные.

Полулогарифмическая графическая бумага - когда одна шкала логарифмическая, а другая – линейная. В этом случае получается прямая, если данные подчиняются закономерности Y = k(10)^аХ, которая идентичнафункции Y = k e^2,3026аХ.

После преобразования получим: log Y= log k + a X, (13)

и чтобы получить прямую по оси Y применяем логарифмическую шкалу, по оси Х – линейную.

Иногда применяется бумага специального вида (гиперболическая, с тремя осями координат). Однако в применении ее нет необходимости.

Например, гиперболическую функцию (14)

можно представить в виде прямой, построив в линейных координатах зависимость Х / Y = f (X)или 1/Y = f (1/ X).

В случае уравнения параболы, состоящего из 3^х членов возможны способы получения линейного графика:

1. Возьмем на кривой,построенной по полученным данным, произвольную точку (Х₁; Y₁). Тогда У₁ = a + bX₁ + cX₁².Вычитая Y – Y₁ = b(X – X₁) + c(X² – X₁²)и разделив обе части уравнения на (Х –Х₁) имеем: (Y –Y₁) / (Х –Х₁) = b + c (X + X₁), где b + c X₁ -постоянная.

Если это уравнение удовлетворяет полученным данным, то график зависимости (Y –Y₁) / (Х –Х₁) от Х будет иметь вид прямой.

2. Дифференцируем уравнение (15), получаем: dY/ dX = b = 2cX. Если значения берутся через равные интервалы, то график зависимости dY / dX от Х будет иметь вид прямой.

Наилучшая методика состоит в том, что: В начале данные наносятся на график в линейных координатах, затем через точки проводится плавная кривая. После этого выбирается наиболее подходящая функция и на кривой берутся произвольные точки для проверки соответствия принятой функции. Такая проверка (алгебраическая) проводится для всей области данных.