Два вида ошибок статистического вывода

Введем дополнительные термины. Наиболее важное - значимость эксперимента или его результатов.

Пример: Испытание образцов стали марки A (20шт) и марки B (20шт)

Вариант 1 Сталь А – разрушение при Р = 4200 ± 350 кг / см²;

Сталь B – разрушение при Р = 5600 ± 350 кг / см²

сталь B имеет более высокую прочность – результат высокозначимый.

Вариант 2 Сталь B - Р = 4430 ± 350 кг / см² - есть сомнения и с татический метод проверки необходим.

Ошибки статического вывода.

Ошибка первого рода: Исследователь приписывает наблюдаемым различиям некоторый реальный эффект, а в действительности никакого эффекта нет.

Пример: Принимаем решение: Сталь марки B (вар 2) прочнее стали А – приступить к закупкам. Последующие проверки на более крупных партиях – разницы нет.

Ошибка второго рода: Игнорирование реального эффекта или различия, которое в действительности присутствует.

Пример: Условия те же.

Принимаем решение, что различие между марками стали А и В не является значимым и запускаем в производство. Последующие проверки показывают, что сталь марки В несомненно прочнее и допущена ошибка второго рода.

Проверка значимости с помощью χ² критерия (критерий Пирсона).

Некоторые эксперименты могут давать различные результаты в зависимости от дня недели, смены, разных мест, разных исполнителей. Испытания такого рода можно проверять на значимость с помощью χ² критерия.

(1)

где: N – наблюдаемое число событий (отказов и т.д.); о - объекта;

E – математическое ожидание этого события.

Когда мы говорим о математическом ожидании, то вводим гипотезу, которая может быть истинная и ложная.

При любом – табличном или графическом – представлении распределении χ² необходимо знать число степеней свободы, связанных с экспериментом.

Число степеней свободы – это число независимых групп наблюдающих, охватываемых гипотезой.

Пример: Приобретение маломощных двигателей на фирмах А и B (поровну).Через время Т вышли из cтроя F_A и F_B. Общее число постоянно и равно F_A + F_B.

Проверим гипотезу: Число отказавших двигателей обеих фирм одинаково?

Решение: Ожидаемой число F_A можно принять равным F_A = (E₁) и F_B = ( E₂ ). Поскольку имеем одну группу наблюдений, то имеем одну степень свободы.

Выражение (1)принимает вид: (2)

Пример: Эксперимент по хронометрированию. 3 группы. Первая группа снимает половину всех данных и делает N₁ ошибок:; вторая группа 1/3 данных и N ₂ ошибок; третья группа – 1/6 данных – N₃ ошибок, Всего ошибок: N= N₁ + N₂ + N₃

Проверим гипотезу: Группы не отличаются по допускаемым ошибкам?

Решение: Если гипотеза верна, то ожидаемые числа ошибок: первая группа – N / 2;

вторая - N /3; третья - N /6. Число степеней свободы равно 2, т.к. сумма двух значений не позволяет выбирать третье.

Тогда

Зная две важные величины – число степеней свободы и χ²- критерий можно с помощью графика (или таблиц) найти вероятность того, что значение χ² не меньше найденного (или уровень значимости).

Если вероятность равна, например от 10%...30%, то это означает, что данные, полученные в результате эксперимента и данные, основанные на гипотезе не принадлежат к различным совокупностям (данная гипотеза приемлема).

Если вероятность равна 5% - то возникает сомнение в справедливости сформулированной гипотезы и полученные данные могут не соответствовать гипотетическому распределению не менее, чем в 1 случае из 20. Если вероятность (уровень значимости) равен 1% - это событие возможно лишь в одном случае из 100.

Чаще всего при анализе эксперимента пытаются опровергнуть сформулированную гипотезу.

Критерий χ² весьма чувствителен к объему выборки.

Минимальное ожидаемое число событий одного рода равно 5, если меньше, то χ² -критерий использовать нельзя. Так, если (А + В) меньше 10, то критерий использовать нельзя. Для вычисления критерия χ² необходимо знать фактические числа, а не % и только целые.

Критерий Стьюдента.

Проверка значимости с помощью критерия t Cтьюдента позволяет использовать проценты и дробные числа и сравнить средние значения и используется для проверки гипотез различного рода. Наибольшее применение в инженерной практике для проверки гипотезы:

средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности?

При проверке различия между двумя средними значениями формула для критерия t имеет вид:

(3)

где: - среднее для выборки А, равное ; - среднее для выборки B, равное ,

где n_а и n_b – объемы выборок А и В;

S_сум – среднеквадратическое отклонение для обеих выборок, рассматриваемых совместно и полученное по формуле

(4),

которую можно сравнить с S^I.

Число степеней свободы для данной гипотезы определяется по формуле:

п₁ + п₂ - 2 (в нашем случае п_а+ п_b –2).

Рис. 12. График соотношения критерия t и числа степеней свободы для различных значений