Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид

x(x, t) = A cos (w t – kx + j₀), (6.9)

где (w t – kx + j₀) – фаза распространяющейся волны. Знак «минус» перед слагаемым kx связан с явлением запаздывания.

Рассмотрим точку пространства такую, что для нее фаза волны постоянна, т.е.

w(t – x/v)+j₀ = const. (6.10)

Продифференцировав выражение (6.10) и сократив его на w, получим d t – d x/v = 0, откуда

. (6.11)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (6.11) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

x(r, t) = cos (w t – kr + j₀), (6.12)

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/ r, поскольку энергия волновой поверхности распространяется по все большей площади (S = 4p r ²).

Если фазовая скорость волн зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, - диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

(6.13)

или

, (6.14)

где v – фазовая скорость; - оператор Лапласа. Решением уравнения (6.14) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

. (6.15)