Геометрическое определение вероятности

Некоторые задачи требуют видоизменения классического определения вероятности для случаев, когда имеется бесконечное множество исходов опыта.

Геометрическое определение вероятности применяется в том случае, когда исходы опыта равновозможны, а пространство элементарных событий Ω есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область Ω, имеющую площадь , и внутри области Ω область D c площадью .

В области Ω случайно выбирается точка Х. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки Х в область Ω. Тем самым пространство исходов испытания можно отождествить с этой областью Ω. Число исходов, очевидно, бесконечно, ведь «в области Ω бесконечное количество точек».

Предполагается, что все точки области Ω равноправны, т.е. все элементарные события равновозможны. Или, что то же самое, брошенная точка может попасть в любую точку области Ω, поскольку все исходы имеют одинаковые шансы осуществиться.

Будем считать, что при этом попадание точки в область Ω – достоверное событие, а в D – случайное. Считается, что вероятность попадания точки в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы.

Определим событие А: оно заключается в том, что брошенная в область Ω точка попадает в область D, т.е. А = {брошенная точка попадает в область D} или, в другой, теоретико-множественной символике: А = { Х D }.

Определение. Геометрическая вероятность события А (по сути - вероятность события А) определяется отношением площади области D к площади области Ω, т.е. следующим образом:

В этой формуле и – площади областей D и Ω соответственно.

Аналогично определяется геометрическая вероятность, если области D и Ω являются линейными или объемными, т.е. определение идентично при расположении областей на прямой, в трехмерном пространстве. В этом случае вместо площадей фигур в формуле для геометрической вероятности стоят соответственно длина каждой области и / или их объемы.

Все три формулы, определяющие геометрическую вероятность события А, можно записать в виде:

где через mes записана мера области – т.е. её площадь S, объём V, длина l.