Вопрос 1. Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности

Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и некоторой её окрестности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если:

1) существует ;

2) этот предел равен значению функции в точке х ₀: .

Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и некоторой её окрестности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для "e>0 существует положительное число d, такое что для всех х из d-окрестности точки х ₀ (т.е. если | х - х ₀ |<d) выполняется неравенство | f (x) - f (х ₀) |<e.

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f (х ₀), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости d-окрестности 0<| х - х ₀ |. Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и некоторой её окрестности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для любой последовательности точек области определения, сходящейся к х ₀, последовательность соответствующих значений функции сходится к f (х ₀): .

Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀ слева, если .

Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀ справа, если .

Теорема 2 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции)

Добавим к условиям теоремы 1(о замене переменных в пределе) требования непрерывности функции в точке .

Учитывая это и применяя доказательство теоремы 1 имеем: