Вопрос 2. Точка перегиба функции – точка графика непрерывной функции y=f(x), отделяющая его части разной выпуклости

Точка перегиба функции – точка графика непрерывной функции y=f(x), отделяющая его части разной выпуклости

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x ₀, имеет в x ₀ точку перегиба, то f ''(x ₀) = 0.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A [ x₀; f(x₀) ] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x₀ - h, x₀) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀, x₀ +h) - больше нуля. Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀) = 0.

На рис.5 изображен график функции . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

, f '(0)= ¥

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f (x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и f ⁽ⁿ⁾ = 0 при n = 2,3,..., k − 1, а , то функция f (x) имеет в x ₀ точку перегиба.