Вопрос 2. Значение f(x0) в точке х0Î(a,b) называют локальным максимумом (локальным минимумом) функции f(x)

Значение f(x0) в точке х ₀Î(a,b) называют локальным максимумом (локальным минимумом) функции f (x), если существует такая проколотая окрестность точки х0, что (f (x) ≥ f (х ₀)).

Теорема. (2-ой достаточный признак экстремума): Если функция ¦¢ (x₀ ) = 0, т.е. x₀ - стационарная точка функции ¦(x) и ¦¢¢(x₀)<0, то в точке x₀ функция ¦(x) имеет max; если же ¦¢¢(x₀)>0, то в точке x₀ функция ¦(x) имеет min.

Запишем, для функции ¦(x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что ¦¢ (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.