Метод операторной коррекции

Анализ нелинейных задач в любой постановке неразрывно связан с организацией процесса итерационного поиска приближенного решения, соответствующего требуемой точности. Теоретическое определение характеристик и границ применимости итерационных методов крайне затруднительно, а для нелинейных задач практически невозможно. Поэтому необходимая информация о характеристиках сходимости итерационного решения к точному и границах применимости анализируемого метода может быть получена практически только методами математического моделирования [7].

К числу наиболее используемых, особенно в практике исследования нелинейных задач теплообмена, относится метод простой итерации. Метод с успехом применяется к поиску решений математических уравнений любого вида: алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и др. Схема организации процесса последовательных приближений в соответствии с методом простой итерации предполагает приведение уравнения

(1.8.1)

к виду

. (1.8.2)

Выбирая некоторое начальное приближение , последующие приближения вычисляют следующим образом:

, (1.8.3)

Здесь: z – искомая функция (или некоторый оператор этой функции); n – номер приближения; как и могут зависеть дополнительно от произвольных переменных, функций и их операторов. Например: дифференциальное уравнение первого порядка

; (1.8.4)

при необходимости поиска решения может быть представлено в форме уравнения (1.8.2) и приведено к структуре уравнения, определяющего итерационный метод Пикара [8]

(1.8.5)

Следует отметить группу итерационных методов, требующих уже на стадии нулевого приближения выбора фиксированного интервала поиска искомых величин (например, метод секущих [8]).

Практический анализ тепловых процессов в энергетике невозможен без организации итерационного процесса поиска решения нелинейной системы дифференциальных уравнений термогазодинамики. Все уравнения «переноса» этой системы – уравнения первого порядка относительно переменной τ, которые могут быть представлены в виде:

, (1.8.6)

где A – дифференциальный оператор первого порядка; f – функция, зависящая от всех параметров уравнений переноса (1.7.1) ¸ (1.7.3).

Предлагаемая схема организации итерационного процесса

(1.8.7)

включает ψ – константу, которая по своему смыслу является корректором всего операторного уравнения (назовем эту процедуру методом операторной коррекции).

Разность уравнений (1.8.6) и (1.8.7) после их интегрирования в интервале ∆τ = τ₂ – τ₁ приводит к следующему уравнению

, (1.8.8)

которое позволяет организовать поиск значения ψ. При этом уравнение, определяющее итерационный процесс метода операторной коррекции (МОК) имеет вид [9]:

(1.8.9)

Функцию можно определить, если учесть, что в пределах необходимой точности получения решения для последней итерации справедливо равенство

. (1.8.10)

После интегрирования уравнения (1.8.10) получаем

(1.8.11)

Итерационный процесс, организованный в соответствии с уравнением (1.8.9) дает возможность получения как приближенных аналитических решений, так и построения нового класса итерационных разностных схем. Отметим, что второе слагаемое уравнения (1.8.9) носит характер не функциональной поправки, а является общим корректором интегро-дифференциального оператора (1.8.6) при вычислении нелинейной части по предыдущей итерации.

В дальнейшем уравнение (1.8.9) будет рассматриваться в основном в приложении к организации разностных итерационных схем. Однако это уравнение может служить базой и для получения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений.

Для сравнения эффективности предлагаемой итерационной схемы рассмотрим интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием процедур метода Пикара и метода операторной коррекции.

Пример. Уравнение

,

имеет точное решение

.

Применение метода Пикара – метода последовательных приближений (МПП) – к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка достаточно просто:

.

При y (0) = 1 и начальном приближении y⁽⁰⁾ = 1решение в первом приближении будет иметь вид:

.

Ограничиваясь четвертым приближением, получим:

. (1.8.12)

Здесь соответствует решениям, получаемым МПП.

Ограничиваясь в дальнейшем анализе 4-м приближением, рассмотрим применение МОК для этого примера. В соответствии с уравнением (1.8.9) получаем:

. (1.8.13)

Принимая в качестве нулевого приближения y⁽⁰⁾ = 1 (такое же, как и для МПП), получаем в соответствии с уравнением (1.6 8.11) y = 5 x, а после подстановки полученного выражения в уравнение (1.8.13) и интегрирования решение исходного уравнения в первом приближении будет иметь вид:

.

Выполняя аналогично последующие приближения, в 4-ом получаем

. (1.8.14)

Сравним полученные уравнения по среднеквадратичной интегральной погрешности. Если точное решение

y = еxp(5 х),

то погрешности определяются соотношениями

; (1.8.15) ; .

Таким образом, в качестве предварительного вывода можно отметить, что МОК, во-первых, функционально жизнеспособен, а, во-вторых, по сравнению с методом Пикара приводит к итерационному решению, имеющему более быструю сходимость к точному.

Литература