Аппроксимация таблично заданных теплофизических характеристик различных веществ

Задача наилучшего приближения таблично заданной функции f можно решить, используя метод наименьших квадратов, при этом формулировка задачи будет выглядеть следующим образом:

для таблично заданной функции y = f(x) найти уравнение регрессии F(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов разностей соответствующих значений функций F и f в точках x₁ ,x₂,, …x_n была наименьшей:

,

где η_j – параметры функции F, определяемые в процессе поиска минимума,

j = 1,2,3… k.

В соответствии с условием существования экстремума функционала Ф получаем систему k уравнений для определения η_j:

, j = 1,2,3… k.

Вопросы практического применения метода наименьших квадратов достаточно подробно проанализированы в литературе, и глубина их проработки доведена до стандартного программного математического обеспечения. Поэтому, применительно к решению задачи об аппроксимации таблично заданных теплофизических характеристик различных веществ [10], ниже будут отмечены только особенности приближающих функций, непосредственно входящих в итоговые таблицы.

Принята одна структура функций для всех ТФХ с соответствующей дифференциацией параметров А, В, и С (аналоги η_j), управляющих минимизацией функционала Ф (A,B,C):

ξ = Аt² + Bt + C

Результаты аппроксимации таблиц ТФХ различных веществ представлены в следующих таблицах [6].

При принятой структуре аппроксимирующей функции среднеинтегральная характеристика применительно к ТФХ λ, ρ, С_р и др. (в общем случае – ξ) в интервале температур t₁ – t₂ будет определяться следующим выражением

.

При линейной зависимости ξ(t) среднеинтегральная характеристика ξ_ср (A = 0) будет определяться среднеарифметическим выражением .