Некоторые определения и обозначения 4 страница

в). Доказательство существования аналитического решения; неравенства между коэффициентами данной и мажорирующей систем; построение явного решения мажорирующей системы

После того как мы научились строить мажоранты, перейдем к доказательству сходимости рядов для решения задачи (3.48), (3.50).

Промажорируем коэффициенты системы (3.48) с помощью построенной нами функции , подобрав при этом числа и так, чтобы функция при была мажорантой для всех коэффициентов системы, кроме свободных членов. Свободные же члены будем мажорировать функцией с другой постоянной , не зависящей от . Это можно сделать, так как мажоранта такого вида существует у каждого коэффициента, и для построения общей мажоранты надо числам и придать наибольшее, а числу – наименьшее из всех значений, соответствующих различным коэффициентам.

Выбрав таким образом числа , получим мажорирующую систему

, (3.59)

где .

Начальные условия возьмем в виде

, (3.60)

где – есть мажоранты нуля (для ), то есть такие функции, которые разлагаются в ряды Тейлора с неотрицательными коэффициентами. Система (3.59) более простая, чем (3.48), и ее решение мы построим в явном виде. Как сказано выше, будем искать решение задачи (3.48), (3.50) в виде степенного ряда, определяя коэффициенты этого ряда из системы (3.48) указанным при доказательстве единственности аналитического решения способом. Этот ряд имеет вид (3.51).

Допустим, что решение задачи (3.59), (3.60) представляется сходящимся рядом с неотрицательными коэффициентами

. (3.61)

(ниже мы построим это решение).

Докажем, что тогда будут иметь место неравенства между коэффициентами рядов (3.51) и (3.61):

. (3.62)

Так как ряд (3.61) по предположению сходится, то неравенства (3.62) доказывают сходимость ряда (3.51) в окрестности точки . Итак, докажем (3.62). По условию все коэффициенты . Для коэффициентов, которые определяются производными по при неравенства (3.62) выполняются, так как по условию , а является мажорантой нуля.

Для тех коэффициентов, которые определяются производными, где есть дифференцирование по , то есть для , соотношение (3.62) докажем по индукции по .

Допустим, что для любого с неравенства (3.62) доказаны. Докажем (3.62) при . Обозначим через производную, соответствующую мультииндексу , и пусть . Тогда, дифференцируя систему (3.48), получаем

(3.63)

Возьмем соответствующую производную и для мажорирующей системы

(3.64)

В правых частях (3.63) и (3.64) содержатся производные от только вида с , а для коэффициентов, определяемых ими, оценка (3.62) выполнена по предположению индукции.

Так как правая часть равенства (3.64) содержит только неотрицательные члены, превосходящие модули соответствующих членов в (3.63) при , а левые части (3.63) и (3.64) выражаются через правые, то мы имеем

.

Таким образом, неравенства (3.62) доказаны.

Теперь докажем, что аналитические функции , являющиеся решением задачи (3.59), (3.60), существуют в некоторой окрестности точки .

Будем искать решение системы (3.59) в виде функции одного независимого переменного

где

Подставим предполагаемое решение в систему (3.59) и получим, что функция должна удовлетворять уравнению

, (3.65)

где .

Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.65) с разделяющимися переменными можно переписать в виде

или

, (3.66)

где

Выберем теперь положительное число настолько большим, чтобы в окрестности точки была справедлива оценка . Тогда в этой окрестности будет аналитической функцией.

Интегрируя (3.66), мы найдем частное решение уравнения (3.65):

откуда , то есть

. (3.67)

Докажем, что это частное решение дает нам искомую мажоранту для решения задачи (3.48), (3.49).

Так как функции удовлетворяют системе (3.59), мажорирующей исходную систему, и так как имеют место неравенства (3.62), то для доказательства того, что функция (3.67) при мажорирует решение задачи (3.48), (3.50), нам надо доказать, что мажорирует тождественный нуль, то есть при разлагается в ряд по переменным с положительными коэффициентами. Докажем это. Функция по известной формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии может быть представлена в виде ряда с положительными коэффициентами

, следовательно, функция

тоже имеет положительные коэффициенты разложения по степеням . Этим же свойством обладает функция .

Так как то, очевидно, и функция тоже имеет положительные коэффициенты при разложении по степеням . Поэтому и коэффициенты разложения по степеням также положительны, т.е. действительно является мажорантой нуля. Следовательно, действительно является решением нашей задачи, т.е. мажорирует решение задачи (3.48), (3.50). Аналитичность решения вытекает из того, что, как мы показали выше, оно разлагается в ряд по степеням , а следовательно, и по степеням . Таким образом, сходимость степенных рядов (3.51) доказана, т.е. доказана теорема Ковалевской.

Пример уравнения теплопроводности, для которого не существует аналитического решения задачи Коши в окрестности точки

Для систем, не имеющих вида (3.46), теорема Ковалевской, вообще говоря, неверна; об этом говорит следующий пример.

Пример Ковалевской. Рассмотрим уравнение теплопроводности

с начальным условием

.

Легко проверить, что аналитическое решение этой задачи, если оно существует в окрестности начала координат, представляется рядом

,

но этот ряд расходится в каждой точке при . Ниже в нашем курсе мы покажем, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе неаналитических функций, например, в классе существует и выражается явной формулой при .

Отметим, что теорема Ковалевской утверждает, что всякое уравнение типа Ковалевской, в котором коэффициенты и правая часть аналитичны, имеет решение на некотором достаточно малом открытом множестве. Однако, для наперед заданного фиксированного множества решение, вообще говоря, может и не существовать.