Некоторые определения и обозначения 3 страница

. (3.38)

3) На границе тела происходит обмен с окружающей средой, температура которой известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения он может быть принят в виде закона Ньютона.

По закону Ньютона: количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среду , где – коэффициент теплообмена. Будем считать . По закону сохранения энергии это количество тепла должно быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу поверхности тела за единицу времени , (здесь – внешняя нормаль к ).

Заменим :

. (3.39)

Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твердом поле ставится так: найти решение уравнения

и одному из условий (3.37), (3.38), (3.39).

Стационарное уравнение. Для стационарных уравнений

и уравнение (3.36) принимает вид

. (3.40)

Если , уравнение (3.40) называется уравнением Пуассона

, (3.41)

при уравнение (3.41) называется уравнением Лапласа. Для полного описания стационарного процесса необходимо задать еще режим на границе – одно из условий

; (3.42)

; (3.43)

. (3.44)

О корректной постановке задач математической физики

Как было сказано выше, для нестационарных (зависящих от времени) уравнений нужно задавать начальные условия для определения решения. Если при этом рассматривается по все , то такую задачу называют задачей Коши. При рассмотрении задачи во всем пространстве (задачи Коши) или в неограниченной области (например, на внешности компакта) необходимо учитывать еще поведение решения «на бесконечности» (в далеких точках изучаемой области), и только при некоторых предположениях об этом поведении решение может быть найдено однозначно.

Таким образом, задача математической физики ставится как задача решения уравнения в частных производных при некоторых дополнительных условиях, называемых начальными и краевыми, которые фиксируются часто самой физической постановкой задачи.

При постановке задач математической физики нужно учитывать еще один важный факт. Он состоит в следующем. Все известные функции, входящие в уравнение, а также в начальные и граничные условия, определяются из опыта и поэтому не могут быть найдены совершенно точно. Всегда неизбежна некоторая погрешность в начальных и граничных условиях. Это пусть и малая, погрешность будет сказываться и на решении, причем погрешность решения не всегда оказывается малой. Существует много примеров, когда малая погрешность в исходных данных влечет большую ошибку в решении. Поэтому, исследуя уравнения математической физики, мы всегда должны рассматривать вопрос о зависимости решения от исходных данных задачи.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее требуемым условиям, существует, единственно и устойчиво. Последнее свойство означает, что малые изменения заданных в задаче функций должны приводить к малым изменениям решения.

Требование существования и единственности означает, что среди краевых и начальных условий нет лишних, то есть задача «совместна», и их достаточно, чтобы выделить среди бесконечного множества решений дифференциального уравнения единственное. При этом задачу решают всегда в определенном функциональном пространстве (пространстве непрерывных функций, обобщенных функций и т. д.) и важно, чтобы в некотором функциональном пространстве имела место теорема существования решения, в том же или более широком пространстве имела место теорема единственности решения, а решение в норме того или иного пространства непрерывно зависело от заданных в задаче функций.

Пример Адамара. Найдем решение уравнения Лапласа

в области – полуполосе: с граничными условиями

и начальными условиями

,

где – нечетное число.

Можно проверить, что функция

(3.45)

удовлетворяет уравнению Лапласа и начальным, и граничным условиям. Можно показать также, что в некотором классе функций решение поставленной задачи единственно. Легко видеть, что, когда , начальная функция стремится к нулю равномерно по вместе со всеми производными по . Однако решение (3.45) при любом имеет вид косинусоиды со сколь угодно большой амплитудой. Ясно, что в этом случае, ни в какой области , лежащей в полуполосе и примыкающей к оси , нет непрерывной зависимости решения от начальной функции.

Таким образом, рассмотренная задача для уравнения Лапласа поставлена некорректно.

Задача Коши. Теорема Ковалевской

Определение системы типа Ковалевской. Примеры. Постановка задачи Коши для общей нелинейной системы уравнений в частных производных типа Ковалевской

Рассмотрим систему уравнений в частных производных с неизвестными функциями :

, (3.46)

где (число уравнений равно числу неизвестных). Из написанных уравнений видно, что в них каждая из неизвестных функций имеет свой наивысший порядок производных по , входящих в рассматриваемую систему. Независимая переменная играет особую роль среди прочих независимых переменных, так как:

а) среди производных наивысшего порядка от каждой функции, входящей в систему, должна содержаться производная ;

б) система разрешена относительно этих производных.

Обычно через обозначают временную переменную, а через – пространственные переменные. Условиям а) и б) удовлетворяет, например, уравнение , а уравнение не удовлетворяет им.

Систему (3.46), удовлетворяющую условиям а) и б), будем называть системой Ковалевской.

При некотором зададим начальные значения неизвестных функций и их производных по до порядка :

(3.47)

Здесь заданы в области , лежащей на гиперплоскости .

Задача (3.46), (3.47) называется задачей Коши. Нашей целью является доказательство существования и единственности (в окрестности рассматриваемой точки) решения задачи Коши в классе аналитических функций при условии аналитичности коэффициентов уравнения и начальных данных.

Определение аналитичности функции многих действительных переменных

Комплекснозначная функция , определенная в некоторой области , называется аналитической в окрестности точки , если она разлагается в степенной ряд

, абсолютно сходящийся при достаточно малых .

Известно, что в этом случае функция имеет в точке производные всех порядков.

Введем сокращенное обозначение для производных от начальных данных по :

,

где

Теорема Ковалевской (о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской).

Если все функции аналитичны в окрестности точки , а функции определены и аналитичны в окрестности точки , то задача Коши (3.46), (3.47) имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки , притом единственное в классе аналитических функций.

Доказательство теоремы Ковалевской мы проведем для линейных систем первого порядка. Можно доказать, что задачу Коши для общих линейных систем можно свести к задаче Коши для линейных систем первого порядка (а нелинейную систему (3.46) – свести к нелинейной системе первого порядка).

Итак, рассмотрим задачу Коши для следующей линейной системы первого порядка, разрешенной относительно производных по от всех неизвестных функций

(3.48)

с аналитическими коэффициентами и при произвольных аналитических начальных данных:

, где . (3.49)

Систему (3.48) коротко можно записать в операторном виде

,

где – вектор с компонентами , а – дифференциальный оператор такой, что есть вектор со следующими компонентами

где .

Неоднородные начальные условия (3.49) можно свести к однородным начальным условиям вида

(3.50)

с помощью замены неизвестных функций. Вместо прежних неизвестных функций введем новые неизвестные функции

или в векторной форме

.

Тогда функции будут удовлетворять системе

с начальными условиями

.

Доказав существование решения для последней задачи Коши, мы докажем тем самым и разрешимость исходной задачи. Будем считать, что такое преобразование сделано, то есть будем рассматривать задачу (3.48), (3.50).

а). Доказательство единственности аналитического решения.

Перенесем точку , в окрестности которой мы будем решать задачу, в начало координат; и сначала докажем единственность решения в классе аналитических функций в окрестности точки , то есть докажем, что ни в какой окрестности этой точки не существует двух различных аналитических решений системы (3.48), удовлетворяющих при одним и тем же начальным условиям (3.50).

Итак, пусть в окрестности точки существует аналитическое решение задачи Коши – вектор .

Аналитические в окрестности начала координат функции разлагаются в степенные ряды по . Как известно, коэффициенты в этих разложениях вычисляются через производные от разлагаемой функции, взятые в соответствующей точке (в нашем случае в начале координат).

Обозначим через коэффициент при в разложении функции в ряд окрестности начала координат:

.

Тогда искомое решение задачи (3.48), (3.50), существование которого мы предположили, запишется в виде ряда

. (3.51)

Единственность решения задачи Коши будет доказана, если мы докажем, что система (3.48) и начальные условия (3.50) единственным образом определяют коэффициенты разложения функций в степенные ряды. Будем определять эти коэффициенты, т.е. производные от в точке , последовательно.

Начальные условия определяют единственным образом все производные в точке по : , и все они равны нулю в силу условия (3.50). Так как мы предположили, что решение задачи Коши существует, то подставим в систему (3.48) это решение. Получим тождества. Продифференцируем все полученные тождества раз по , по и т.д. Тогда в левых частях получатся производные вида

, (3.52)

а в правых частях – только производные по от и коэффициентов, то есть вполне определенные величины в точке (так как производные по от в мы определили); таким образом, производная (3.52) в точке определяется однозначно. Продифференцировав систему (3.48) один раз по , раз по , раз по и т.д., мы определим однозначно в точке производные вида

,

так как производная (3.52) уже определена однозначно. Продолжая этот процесс дальше, мы однозначно определим коэффициенты , которыми в свою очередь определяется разложение (3.51) нашего решения в степенной ряд, причем однозначным образом (можно воспользоваться методом индукции). Таким образом, два аналитических решения задачи (3.48), (3.50) с одними и теми же начальными условиями совпадают в некоторой окрестности начала координат. Этим доказана единственность решения задачи Коши в классе аналитических функций.

Для доказательства существования решения задачи Коши (3.48), (3.50) нам достаточно доказать, что степенные ряды (3.51), определенные коэффициентами , сходятся в некоторой окрестности начала координат.

Эти ряды будут удовлетворять нулевым начальным условиям (3.50) и системе (3.48), так как при построении этих рядов (при вычислении коэффициентов) мы пользовались тем, что левые части системы (3.48) равнялись ее правым частям в некоторой окрестности начала координат.

Для доказательства сходимости степенных рядов используют метод мажорантных рядов.

б). Мажоранты аналитических функций и их построение

Определение. Мажорантой (мажорантным рядом) для функции , аналитической в некоторой окрестности точки , называется всякая функция , аналитическая в этой окрестности, у которой все коэффициенты разложения в степенной ряд Тейлора по степеням неотрицательны и не меньше абсолютных значений соответствующих коэффициентов разложения функции , то есть если то и .

Перенесем начало координат в точку и построим для функции , аналитической в окрестности этой точки, мажоранту специального вида, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть функция разложена в ряд вида

, (3.53)

и пусть он сходится в точке , где все . Тогда существует постоянная такая, что при всех целых неотрицательных

, (3.54)

то есть

. (3.55)

Неравенство (3.55) мы получили для заданной функции , для которой будем строить мажоранты.

Рассмотрим функцию

, (3.56)

где , а постоянная взята из формулы (3.54). Разложим каждый множитель вида в степенной ряд по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

,

то есть запишем в виде

(3.57)

Очевидно, является мажорантой для функции в силу (3.55) и (3.57).

Мажоранты можно строить разными способами. Так как для , заданной рядом (3.53), мажорантой будет также функция

,

где , а , как и прежде, некоторая точка сходимости ряда (3.53) для .

В самом деле, при эта функция разлагается в сходящийся ряд

,(3.58)

но поэтому коэффициенты ряда для положительны и мажорируют коэффициенты ряда (3.58), а по доказанному ряд (3.58) мажорирует ряд (3.57), значит и мажорирует ряд (3.53), то есть функцию . Точно также для мажорантной будет функция

где имеет прежнее значение, а число , но такое, что . Действительно, если теперь разложить в ряд по степеням , то получится ряд, отличающийся от (3.58) только тем, что теперь коэффициенты будут больше, так как умножаются на , где .