Некоторые определения и обозначения 1 страница

Глава 1

Классификация дифференциальных уравнений

С частными производными. Постановка основных задач

Математической физики

Некоторые определения и обозначения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе – уравнение в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом. Приведем вид линейного уравнения с частными производными второго порядка

(1.1)

где .

Пусть выбран любой целочисленный вектор , где , называемый мультииндексом; зададим его норму, как: по этому целочисленному вектору введем дифференциальный оператор . Уравнение (1.1) с помощью введенного оператора можно записать в виде

. (1.2)

Определение. Открытое, связное множество называется областью. По умолчанию будем считать область ограниченной. Через или будем обозначать границу области. Шар радиуса с центром в точке будем обозначать , а его границу, сферу, как .

Определение. Функция называется кусочно-непрерывной в , если существует конечное или счетное число таких областей , без общих точек с кусочно гладкими границами, что каждый шар покрывается конечным числом замкнутых областей и , .

Определение. Кусочно-непрерывная функция называется финитной, если она обращается в нуль вне некоторого шара.

Определение. Пусть . Носителем непрерывной функции называется замыкание множества тех точек, где ; носитель обозначается .

Ниже будем обозначать – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

– множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .

, аналогично .

– множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично вводится: .

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных

производных второго порядка

Типы уравнений.

Рассмотрим уравнение (1.1). Введем в рассмотрение симметричную матрицу (): . Известно, что у такой матрицы существуют – n вещественных собственных значений. Обозначим – количество положительных собственных значений, – количество отрицательных собственных значений, – количество нулевых собственных значений (все – с учетом кратности).

1. Если = n или = n, то уравнение (1.1) называется эллиптическим.

Пример 1. Уравнение Пуассона где – эллиптическое.

Для уравнения Пуассона матрица имеет вид

.

2. Если = n - 1, = 1, или = 1, = n - 1, то уравнение называется гиперболическим.

Пример 2. Волновое уравнение –

гиперболическое. Для волнового уравнения:

.

3. Если , , то уравнение называется ультрагиперболическим.

Пример 3. Уравнение , ультрагиперболическое.

4. Если , то уравнение называется параболическим (если и одно из чисел или равно (), то уравнение называется нормально-параболическим).

Пример 4. Уравнение теплопроводности – параболическое (даже, нормально-параболическое). Для него

.

Определение.Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка называется такой его вид, в котором матрица A является диагональной.

Приведение уравнения (1.1) к каноническому виду

Из вышеизложенного очевидно, что на тип уравнения, и, следовательно, на его канонический вид влияют лишь коэффициенты при старших (вторых) производных. Поэтому рассмотрим более общее, чем уравнение (1.1) уравнение

(2.1)

с непрерывными коэффициентами . Это уравнение называется квазилинейным (линейным относительно всех старших производных) дифференциальным уравнением второго порядка. Выясним прежде всего, по какому закону преобразуются коэффициенты при произвольной неособенной замене независимых переменных , т.е. с якобианом , отличным от нуля: . Так как , то переменные можно выразить через переменные . Обозначим тогда . Имеем

(2.2)

Подставляя выражения (2.2) в уравнение (2.1), получим

(2.3)

Обозначая теперь через новые коэффициенты при вторых производных, перепишем уравнение (2.1) в виде

. (2.4)

Итак, матрица получена по правилу , где транспонированная матрица .

Пример 5. Уравнение имеет матрицу вида , характеристический многочлен имеет вид , следовательно, . Канонический вид уравнения , следовательно, это гиперболическое уравнение (волновое).

Замечание. Тип уравнения может быть различный в различных точках области.

Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

В случае двух независимых переменных уравнение (2.1) имеет следующий вид

(2.5)

где – коэффициенты при старших производных, – младшие члены уравнения, независимые переменные . В соответствие с общей классификацией уравнений в частных производных второго порядка, уравнение (2.5) принадлежит гиперболическому типу, если , эллиптическому типу, если , параболическому типу, если .

Для того, чтобы привести уравнение (2.5) к каноническому виду, введем независимые переменные

, (2.6)

причем предполагается, что якобиан преобразования

. (2.7)

Говорят, что уравнение (2.5) приведено в новых переменных к каноническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае

(2.8₁)

или

(2.8₂)

в эллиптическом случае

, (2.9)

в параболическом случае

или

. (2.10)

Здесь .

Для того, чтобы найти преобразование (2.6) с условием (2.7), приводящее уравнение (2.5) к одному из трех канонических видов, совершим преобразование, обратное (2.6) . Для перехода к новым неизвестным воспользуемся формулами (2.4), получим из (2.5) уравнение

(2.11)

где и

. (2.12)

Замечание 1. Проверить непосредственно, что

.

Из замечания, условия (2.7) и определения типа уравнения следует, что уравнение (2.5) не меняет типа при неособой замене переменных. Дальнейший выбор преобразования (2.6) зависит от типа уравнения (2.5).

1. Гиперболический тип уравнения .

Подберем преобразование (2.6) таким образом, чтобы и для рассматриваемых значений . Будем предполагать, не ограничивая общности, что для рассматриваемых (в противном случае можно считать , так как если , то и уравнение (2.5) уже имеет канонический вид). Как видно из (2.12), для выполнения условий и следует найти решения и уравнения

(2.13)

удовлетворяющие условию (2.7). Однородное (второй степени однородности) относительно уравнение (2.13) легко разложить на множители и записать в виде (ниже )

Таким образом, нелинейное уравнение (2.13) распалось на совокупность двух линейных уравнений первого порядка

(2.14)

Для решения уравнений (2.14) составим соответствующую им совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений из следующих соображений. Найдем первые интегралы для этих уравнений, то есть функции , при которых уравнения (2.14) будут равносильны однопараметрическим функциональным уравнениям . Имеем с помощью (2.14):

Отсюда

(2.15)

После деления уравнений совокупности (2.15) на получаем совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений

(2.16)

При условиях достаточной гладкости коэффициентов у уравнений (2.16) существуют однопараметрические семейства решений

Обозначим . Очевидно, и – первые интегралы соответствующих уравнений совокупности (2.14).

Определение. Кривые и называются характеристиками уравнения (2.5), а уравнение (2.13) – уравнением характеристик.

По построению функций и при замене

(2.17)

коэффициенты , а коэффициент в силу замечания 1 имеет вид . Покажем, что при такой замене , и, следовательно, .

Действительно, так как , где – решение уравнения , то, во-первых, , во-вторых, с учетом (2.7)

то есть якобиан перехода к новым переменным отличен от нуля при выполнении условия гиперболичности . Так как , то после деления уравнения (2.11) на , мы приходим к каноническому виду (2.8₂) уравнения (2.5). Отметим также, что новая замена переменных позволяет перейти от канонического вида (2.8₂) к каноническому виду (2.8₁).

2. Эллиптический тип уравнения:

Уравнение (2.13) в этом случае можно записать (после умножения на ) в виде

(2.18)

Как и в первом случае гиперболического уравнения, равенство (2.18) равносильно совокупности двух уравнений первого порядка. Рассмотрим первое из них

(2.19)

Исследуя это уравнение аналогично уравнениям (2.14), отметим, что его решения комплекснозначны. Пусть решение уравнения (2.19) представлено в виде

, (2.20)

где – вещественнозначные функции. Легко убедиться в том, что решения второго из уравнений совокупности

(2.21)

представимы в виде . Таким образом, достаточно рассмотреть лишь уравнение (2.19). С помощью функций построим преобразование

. (2.22)

Как и в гиперболическом случае, можно показать, что якобиан преобразования (2.22) отличен от нуля. Учитывая, что функция (2.20) по построению является решением уравнения (2.13) получаем разделяя вещественную и мнимую части в (2.13), находим Из (2.23) и (2.12) следует , а из (2.24) и (2.12), что . Из замечания 1 вытекает, что при . Так как по построению преобразования (2.22) величина , то . Следовательно, после преобразования и деления на уравнение (2.5) переходит в уравнение (2.9) канонического вида.

3. Параболический тип уравнения: .

Заметим, что в этом случае хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля (в противном случае и и уравнение (2.5) вырождается в уравнение первого порядка). Предположим, что и рассмотрим уравнения (2.18), (2.19) при . Так как в этом случае оба уравнения совпадают, то мы приходим к уравнению

. (2.25)

Заметим также, что всякое решение уравнения (2.25) является также решением уравнения

(2.26)

и наоборот. Пусть – решение уравнения (2.25) (или уравнения (2.26)). Положим

. (2.27)

Обозначим . Из (2.12) имеем

(2.28)

(2.29)

(2.30)

В качестве второй функции

(2.31)

можно взять, вообще говоря, любую гладкую функцию , обеспечивающую отличие от нуля якобиана преобразования исходного уравнения к уравнению с коэффициентами (2.28)-(2.30). После проведенных преобразований из (2.26) и (2.27) получаем , , что приводит уравнение (2.5) к каноническому виду (2.10).