Некоторые определения и обозначения 2 страница

§ 3. Постановка начальных, краевых и начально-краевых задач для

уравнений в частных производных

Уравнение Пуассона (простейший пример эллиптического уравнения)

. (3.1)

Уравнение Пуассона должно быть дополнено одним из следующих краевых условий

1. Первое краевое условие (условие Дирихле):

. (3.2)

2. Второе краевое условие (условие Неймана):

(3.3)

– (здесь – направление внешней нормали к поверхности в точке .

3. Третье краевое условие

. (3.4)

Задача (3.1), (3.2) называется первой краевой задачей (задачей Дирихле), задача (3.1), (3.3) называется второй краевой задачей (задачей Неймана), задача (3.1), (3.4) называется третьей краевой задачей.

Волновое уравнение (простейший пример гиперболического уравнения).

(3.5)

Задача Коши для волнового уравнения имеет вид (здесь )

Введем обозначения

, , ,

где – направление внешней нормали к поверхности в точке .

Первая краевая задача (задача Дирихле) для волнового уравнения имеет вид

Вторая краевая задача (задача Неймана) для волнового уравнения отличается от первой краевой задачи тем, что вместо условия (3.10) в ней присутствует условие

. (3.11)

В третьей краевой задаче вместо краевого условия (3.10) (первая краевая задача), или условия (3.11) (вторая краевая задача) присутствует условие

. (3.12)

Уравнение теплопроводности (простейший пример параболического уравнения)

. (3.13) Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид

В первой краевой задаче (задаче Дирихле), второй краевой задаче (задаче Неймана), третьей краевой задаче для уравнения теплопроводности присутствуют само уравнение (3.13), начальное условие

, (3.16)

и одно из краевых условий

– в первой начально-краевой задаче условие (3.10),

– во второй начально-краевой задаче условие (3.11),

– в третьей начально-краевой задаче условие (3.12).

Физическая постановка задач

Вывод уравнения Даламбера (волновое уравнение)

Уравнение Даламбера

(3.17)

описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольные колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этого уравнения.

1. Поперечные колебания струны.

Пусть струна длиной натянута с силой . Направим ось вдоль струны, находящейся в положении равновесия и пусть – левый конец струны. Тогда – правый конец струны. Возьмем ось и будем рассматривать лишь поперечные колебания струны, когда каждая точка смещается только перпендикулярно . Обозначим смещение точки струны в момент . Предположим, что углы, образуемые струной с малы: . Докажем, что удовлетворяет уравнению (3.17).

Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на для участка струны от до

. (3.18)

Здесь – ускорение, где линейная плотность струны, .

Через обозначена сила, действующая на участок со стороны левого (правого) куска струны, проекция ускорения на , – проекции сил на ; – плотность поперечных внешних сил. Например, в поле тяжести Земли , где .

Подставляя и в (3.18), получаем

. (3.19)

Далее, для гибкой струны сила натяжения направлена в каждой точке по касательной к струне. Примем, что постоянная по величине. Тогда

.

Уравнение (3.19) принимает вид

. (3.20)

Поскольку мы рассматриваем «малые» колебания струны, при которых , то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по и

.

Подставляя эти выражения в (3.20), имеем с той же точностью

. (3.21)

Делим на , при получаем (3.17), в котором

.

Замечание. Так как , их сумма есть , следовательно, проекция на равнодействующей сил, действующих на участок есть бесконечно малая второго порядка. С точностью до этих бесконечно малых, малые колебания струны являются поперечными.

Граничные условия для струны.

а) Если левый конец струны закреплен, то

при . (3.22)

б) Предположим, что левый конец струны прикреплен к кольцу (невесомому), которое может свободно передвигаться по вертикальному стержню. Тогда вертикальная составляющая силы действия стержня на левый конец струны при равна 0:

. (3.23)

в) В более общем случае, когда на левом конце к струне прикреплен груз массой , выполняются краевые условия

. (3.24)

г) Если, кроме того, груз прикреплен к пружине жесткости , то в правой части (3.24) нужно добавить силу упругости – . Еще может быть сила трения, пропорциональная скорости – .

Таким образом, получается физически осмысленное условие

. (3.25)

Здесь – некоторая внешняя сила, прилагаемая к левому концу. Аналогичные условия могут быть заданы и в правом конце струны .

Продольные колебания упругого стержня

Пусть имеется однородный ненапряженный стержень длиной . Направляем вдоль стержня, так, чтобы его левый конец находился в точке , тогда – его правый конец.

Будем рассматривать лишь продольные колебания стержня. Через будем обозначать смещение точки в момент вдоль оси

Докажем что удовлетворяет уравнению (3.17).

Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на для участка стержня от до :

. (3.26)

Сила имеет вид

, (3.27)

где – сила, действующая вдоль на участок со стороны левого (правого) куска стержня, а – плотность внешних сил, направленных вдоль оси . Например, если стержень висит вертикально в поле тяготения Земли, так что направлена вниз, то .

Подставляя в (3.26), получаем

. (3.28)

Чтобы найти и , воспользуемся законом Гука .

Здесь – напряжение стержня в точке , то есть , где – сила натяжения стержня в точке , а – площадь поперечного сечения. Величина – модуль Юнга материала стержня, – относительная деформация стержня в точке . Для участка стержня его длина в ненапряженном состоянии равна , а в напряженном . Поэтому его абсолютное удлинение равно , а относительное – .

Итак,

. (3.29)

Отсюда по закону Гука:

. (3.30)

Отметим, что закон Гука – это линейное приближение для зависимости от и он применим лишь при малых деформациях, то есть малых .

Учитывая направление сил и , получаем

(3.31)

Подставляя (3.31) в (3.26), получаем

. (3.32)

Делим на и устремляем , получаем (3.17) с

(3.33)

еще обозначают – объемная плотность стержня, тогда .

Граничные условия для стержня

а) Для закрепленного левого конца

б) Для свободного левого конца натяжение

,

то есть .

в) Общий случай.

К левому концу прикреплен груз массы , закрепленный на пружине жесткости , пружина находится в ненапряженном состоянии, когда смещение левого конца равно нулю. Груз движется с трением – скорость груза. Тогда, при выполняется краевое условие

, (3.34)

где – внешняя сила, действующая на левый конец вдоль .

Вывод уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке в момент есть . Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых к менее нагретым частям. Возьмем некую поверхность внутри тела и на ней малый элемент . В теории теплопроводности принимается, что количество тепла , проходящее через элемент за время пропорционально , то есть

, (3.35)

здесь – направление нормали к элементу в направлении движения тепла, – коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать тело изотропным в отношении теплопроводности, то есть, что зависит лишь от и не зависит от . Обозначим через тепловой поток, то есть количество тепла, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени. Тогда из (3.35): .

Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью и рассмотрим изменения количества тепла в этом объеме за время . Нетрудно видеть, что через поверхность за это время согласно (3.35) проходит количество тепла, равное , где – внутренняя нормаль к .

Рассмотрим элемент объема . На изменение температуры этого объема на за время нужно затратить количество тепла, равное

,

где – плотность, – теплоемкость вещества. Следовательно, количество тепла, необходимое для изменения температуры на равно

или .

Предположим, что внутри тела имеются источники тепла. Обозначим через – плотность тепловых источников (количество тепла, поглощаемого или выделяемого в единице объеме тела в единицу времени). Тогда количество тепла, поглощаемого, либо выделяемого в объеме за время будет равно

.

Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема . Очевидно, , то есть

.

Применяя формулу Остроградского ко 2-му интегралу, будем иметь (минус появится, так как – внутренняя, а не внешняя нормаль)

,

так как промежуток и объем произвольны, то для любой точки тела в любой момент :

. (3.36)

Это уравнение теплопроводности неоднородного

изотропного тела.

Если тело однородно, то и

,

где .

Если в однородном теле нет источников тепла, то – однородное уравнение теплопроводности. В частном случае, когда , что, например, имеет место в тонкой однородной пластине, .

Наконец, для линейного тела (однородный стержень) – .

Чтобы найти температуру внутри тела, недостаточно одного уравнения теплопроводности. Необходимо еще знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени и тепловой режим на границе тела (краевое условие). Условие на границе задается различными способами.

1) В каждой точке поверхности задается температура

. (3.37)

2) На поверхности задается тепловой поток , откуда