Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

1. Интегралы вида

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

2. Интегралы вида

Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

a. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .

b. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .

c. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла

чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помощью тригонометрического соотношения и формулы редукции

4. Интегралы вида

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции

5. Интегралы вида

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида

a. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.

b. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.

c. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида

a. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.

b. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.

c. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

ТЕМА 5. Определённый интеграл.

1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

Задача о площади криволинейной трапеции

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = 0, x = a, x = b и y = f(x), где f(x) есть непрерывная положительная функция, заданная при a ≤ x ≤ b.

Разделим [ a, b ] точками a = x ₀ < x ₁ < x ₂ <... < x_{n -1} < x_n = b и пусть λ = max(x_{k +1} - x_k). Прямые x = x_k разбивают нашу трапецию на n узких полос. Так как функция f (x) непрерывна, то она мало меняется при x_k ≤ x ≤ x_{k +1} и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [ x_k, x_{k +1}] постоянной и равной f (ξ_k), где ξ_k есть произвольно взятая точка промежутка [ x_k, x_{k +1}].

Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна

Естественно считать, что эта площадь при малом λ является приближенным значением интересующей нас площади F. Поэтому по определению будем называть площадью нашей криволинейной трапеции предел

Задача о массе стержня

Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня (см. рис. 1), то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p (x). Поставим задачу, как, зная эту функцию и длину l стержня, найти его массу m.

При решении этой задачи будем считать плотность p (x) непрерывной функцией. Переходя к решению, разделим стержень точками x ₁ < x ₂ <... < x_{n -1} (0 < x_k < l) на n небольших участков (см. рис. 2).

Для единообразия обозначений положим еще x ₀ = 0, x_n = l, и пусть λ есть наибольшая из разностей x_{k +1} - x_k. Отдельный участок [ x_k, x_{k +1}] стержня приближенно можно считать однородным [т. к. из-за его малости (непрерывная) функция p (x) не успевает на нем сколько-нибудь заметно измениться]. Делая такое допущение, мы тем самым принимаем плотность p (x) на участке [ x_k, x_{k +1}] за постоянную. Пусть значение этой постоянной есть p (ξ_k), где ξ_k есть произвольно выбранная точка участка [ x_k, x_{k +1}]. Тогда масса участка [ x_k, x_{k +1}] будет равна p (ξ_k)(x_{k +1} - x_k), а полная масса стержня будет

Полученное выражение массы является, однако, лишь приближенным, т. к. на самом деле отдельные участки стержня не однородны. Тем не менее, чем короче эти участки, т. е. чем меньше число λ, тем более точным будет найденное выражение m. Отсюда следует, что точное значение массы таково:

2. Основные свойства определённого интеграла.

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

где k - константа;

Если для всех , то .

Если в интервале [a, b], то