Критерий Михайлова

Имеем характеристический полином замкнутой системы

(6.1)

Его можно представить в следующем виде, если известны корни:

(6.2)

Подставим в (6.2) и получим характеристический комплекс

(6.3)

Выражение (6.3) можно представить в виде

где .

Окончательно вектор Михайлова можно представить

;

где ,

.

При изменении частоты от до вектор поворачивается, причем угол поворота зависит от типа корней.

Рассмотрим каждый сомножитель при разных корнях.

1) Пусть ; комплексное число . Пусть изменяется от до тогда вектор поворачивается на угол (рис. 6.6, а).

		Рис. 6.6

2) Пусть ; при изменении от до вектор поворачивается на угол (рис. 6.6, б)

3) Корни комплексные

		б
	а
		Рис. 6.7

При изменении от до поворачивается на (рис.6.7, а).

При изменении от до поворачивается на (рис.6.7, б).

Два вектора и вместе дают угол поворота .

4) Если корни , то суммарный угол поворота этих двух векторов будет равен .

На основании рассмотренных свойств можно определить угол поворота вектора Михайлова. Пусть – число корней с положительной вещественной частью, тогда корней с отрицательной вещественной частью.

Угол поворота вектора Михайлова

.

Критерий формулируется. Для того чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при изменении от до вектор Михайлова поворачивался на угол , при этом годограф Михайлова проходит последовательно – квадрантов.

	Рис. 6.8

Критерий применяется следующим образом. Пусть имеем

a₀rⁿ+ a₁r^n-1+..+ a_n= A(r), тогда

A(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1+...+ a_n..

Выделяем мнимую и действительную части A(jω)=Х(ω)+jY(ω), затем строим годограф при изменении от до .