Понятие об устойчивости. Теоремы Ляпунова

Понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивое положение Неустойчивое положение Нейтральное положение

	Рис. 6.1

Дифференциальное уравнение линейной системы имеет вид:

_.

Решение уравнения может быть представлено:

,

где – частное решение уравнения, часто является величиной постоянной и определяет установившееся состояние системы, – переходная составляющая, определяет свободное движение системы.

Система называется устойчивой, если при , .

Переходная составляющая зависит от корней характеристического уравнения

,

имеющего n корней _.

Постоянные интегрирования зависят от правой части дифференциального уравнения. Корни могут быть вещественные, комплексные и мнимые и им соответствуют составляющие переходной составляющей.

1) Вещественные корни

а) б)

	Рис. 6.2

2) Комплексные корни

a) б)

3) Мнимые корни

Рассмотрим плоскость корней (рис. 6.5).

Im – граничная линия, разделяющая плоскость корней на две полуплоскости. Если корни расположены в левой полуплоскости, то система устойчива. Если в правой полуплоскости, то неустойчива. Система находится на границе устойчивости при наличии хотя бы одного нулевого корня или пары мнимых.

Все реальные системы не являются линейными. Для линеаризованных систем условия устойчивости были сформулированы Ляпуновым.