Спектральный метод анализа линейных систем с постоянными параметрами

Спектральный метод анализа прохождения сигналов через линейные системы с постоянными параметрами базируется на том факте, что отклик такой системы на воздействие в виде синусоидального колебания с частотой в стационарном режиме является синусоидальным колебанием с той же частотой , но с амплитудой, измененной в раз и начальной фазой, сдвинутой на угол радиан относительно начальной фазы синусоидального колебания, действующего на входе системы.

Алгоритмы решения задач анализа и синтеза линейных систем с постоянными параметрами спектральным методом.

Œ Задача анализа: известны входное воздействие на систему, ее структура и параметры; необходимо найти колебание на выходе системы.

1. По известному воздействию с помощью прямого преобразования Фурье найти спектральную плотность :

2. По известной структуре (схеме) системы и ее параметрами найти передаточную функцию системы .

3. Найти спектральную плотность колебания на выходе системы:

.

4. С помощью обратного преобразования Фурье найти колебание на выходе системы:

 Задача синтеза (идентификации): известны входное воздействие на систему и тот отклик, который необходимо получить на выходе; нужно найти характеристики системы.

1. По известному воздействию найти спектральную плотность :

2. По известному отклику системы найти спектральную плотность :

3. Найти передаточную функцию системы, осуществляющей нужное преобразование входного колебания:

4. По известной передаточной функции системы синтезировать систему и найти ее параметры.

Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Перетворення Фур’є. Спектральна густина енергії. Достатні умови Діріхле. Суцільний спектр неперіодичного сигналу s(t). Зв`язок спектрів імпульсного сигналу та періодичної послідовності імпульсів. Енергетичний спектр неперіодичного сигналу. Теорема Парсеваля для перетворення Фур’є. Властивості спектральної густини енергії.

Рассмотрим периодический сигнал с периодом . Этот сигнал можно записать в виде ряда Фурье

где

Подставим выражение для расчета коэффициентов в выражения для ряда Фурье:

Учтем, что и получим

Чтобы перейти от периодического сигнала к импульсному , необходимо осуществить предельный переход вида

.

При расстояние между соседними спектральными линиями, которое равно , стремится к нулю, то есть спектр становится сплошным. Далее, при частота , а операция суммирования в выражении для ряда Фурье трансформируется в операцию интегрирования. Таким образом:

– формула прямого преобразования Фурье

– формула обратного преобразования Фурье.

Функция называется спектральной плотностью сигнала s(t).

Непериодический сигнал является Фурье преобразуемым, если он удовлетворяет некоторым требованиям – достаточным условиям Дирихле: