Комплексно-экспоненциальная форма записи ряда Фурье

Чтобы записать ряд Фурье в комплексно-экспоненциальной форме, достаточно в косинусной форме ряда Фурье сделать замену

Если это проделать, получим необходимые формулы:

,

где

Отличительной особенностью комплексно-экспоненциальной формы ряда Фурье есть то, что здесь формально введены колебания с отрицательными частотами и, следовательно, спектр становится двусторонним. При необходимости всегда можно избавиться отрицательных частот и перейти к косинусному ряду Фурье и одностороннему спектру. Однако нужно подчеркнуть, что рассчитать коэффициенты обычно намного проще, чем коэффициенты любого из тригонометрических рядов.

Чтобы поострить двусторонний спектр амплитуд периодического сигнала , необходимо отложить значения на частотах , соответственно. Чтобы построить двусторонний фазовый спектр периодического сигнала s(t), необходимо отложить значения на частотах , соответственно.

Методи аналізу проходження детермінованих сигналів через лінійні кола. Спектральний метод аналізу лінійних систем з постійними параметрами. Класичний метод. Метод інтегралу згортки. Спектральний метод. Імпульсна характеристика. Умови каузальності та стійкості лінійних систем з постійними параметрами. Частотна передавальна функція. Амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики лінійної системи з постійними параметрами. Смуга пропускання системи. Алгоритми розв`язання задач аналізу лінійних систем з постійними параметрами спектральним методом.

Для определения отклика линейной системы на заданное входное воздействие используют один из следующих трех методов:

– классический метод, основанный на решении дифференциального уравнения, моделирующего процессы, происходящие в системе при воздействии на нее заданного сигнала;

– метод интеграла свертки, позволяющий находить отклик системы непосредственно во временной области;

– спектральный метод, позволяющий найти отклик системы в частотной области.

Классический метод основывается на решении дифференциального уравнения вида

.

Тут a_i и b_j – некоторые коэффициенты, значения которых зависят от структуры и параметров цепи, x (t) – воздействие, y (t) – отклик.

Решение этого уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

,

где первое слагаемое представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (с нулевой правой частью), а второе слагаемое – частотное решение при ненулевой правой части дифференциального уравнения цепи. Физически – свободная составляющая полного отклика (выходного сигнала), представляет собой реакцию цепи на отключение(или включение) входного сигнала и характеризует переходные процессы в цепи. Второе слагаемое – вынужденная составляющая, является реакцией цепи после окончания переходных процессов и характеризует установившейся(стационарный) режим преобразования цепью входного сигнала..

Временной метод (метод интеграла положения, метод интеграла Дюамеля) основывается на представлении входного сигнала цепи в виде суммы элементарных сигналов вида единичного скачка или импульса бесконечно малой длительности ( – функции). Тогда, зная отклик линейной цепи на каждый элементарный сигнал и суммируя их можно получить в соответствии с принципом суперпозиции (наложения) полный отклик цепи на входной сигнал сложной формы.

Если на вход линейной системы с импульсной характеристикой воздействует сигнал , то на выходе системы будет сигнал и

или .

Эти эквивалентные выражения носят название интеграла свертки.

Если на вход линейной системы с переходной характеристикой воздействует сигнал , то на выходе системы будет сигнал и

.

Итак, для использования метода интеграла наложения необходимо знать импульсную характеристику или переходную характеристику .

Напомним некоторые важные характеристики линейных систем, связанные с импульсной характеристикой.

Для того чтобы линейная система с постоянными параметрами была каузальной (физически реализуемой), необходимо и достаточно, чтобы ее ИХ

Система является устойчивой, если и только если каждому ограниченному по величине воздействию соответствует ограниченный по величине отклик. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы с постоянными параметрами является выполнение неравенства