В тетради(Поток вектора ЭП)

8.

Все тела в зависимости от их электрических свойств можно разделить на три группы: проводники, диэлектрики, полупроводники. В незаряженном металлическом проводнике, как и в любом нейтральном теле, суммарный электрический заряд равен нулю, т.е. заряд свободных электронов компенсируется положительными зарядами, связанными с узлами крис­таллической решетки металла. Так как заряд тел определяется недостатком или избытком числа электронов по сравнению с числом их в электрически нейтральных телах, то заряжение проводника, т.е. его электризация, сводится к изменению, тем или иным способом, числа содержащихся в нем электронов.

Каким же образом распределяется в проводнике этот избыточный заряд?

Неподвижные заряды одного и того же знака не могут сохрани­ться в толще заряженного проводника. Силы взаимного отталкивания заставят их удалиться друг от друга на наибольшие расстояния, пока не будет достигнута граница проводника с диэлектриком, т.е. на внешнюю поверхность проводника.

Для того, чтобы распределение заряда на проводнике было равновесным, вектор электрической индукции (электрического смещения) внутри проводника должен быть равен нулю (в противном случае заряды внутри проводника будут перемещаться и равновесие нарушится):

(1.1)

Тогда и поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность расположенную внутри проводника, равен нулю. Следовательно, алгебраическая сумма зарядов, охватываемых любой замкнутой поверхностью внутри проводника, также равна нулю, т. е.

. (1.2)

Таким образом, внутри проводника суммарный электрический заряд равен нулю. Сообщенный проводнику заряд распределяется только по внешней поверхности проводника.

Количественной характеристикой распределения заряда по поверхности проводника является поверхностная плотность заряда s

, (1.3)

где S – поверхность проводника, на которой распределен заряд q.

Тело произвольной формы на различных участках поверхнос­ти имеет разную плотность заряда. Распределение поверхностной плотности заряда определяется только формой проводника и не зависит от величины заряда. Чем значительнее кривизна выпуклой поверхности заряженного тела, тем больше поверхностная плотность заряда.

Вблизи заряженного проводника вектор электрической индукции численно равен поверхностной плотности заряда, а напряженность прямо пропорциональна поверхностной плотности заряда. (1.4)

где D_n и Е_n – нормальные составляющие вектора электрической индукции и напряженности поля.

9.

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. В единицах системы СИ:

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

10.

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом. Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током).

Закон Био—Савара—Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в электростатике. Закон Био—Савара—Лапласа можно считать главным законом магнитостатики, получая из него остальные ее результаты.

В современной формулировке закон Био—Савара—Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля, т.е. в современной формулировке уравнения Максвелла выступают как более фундаментальные (прежде всего хотя бы потому, что формулу Био—Савара—Лапласа нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).

Для тока, текущего по контуру (тонкому проводнику)

Пусть постоянный ток течёт по контуру (проводнику) , находящемуся в вакууме, — точка, в которой ищется (наблюдается) поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в Международной системе единиц (СИ))

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, — положение точек контура , — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); — магнитная постоянная; — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

• В принципе контур может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

• В случае простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током , — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и . Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

11.

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся в вакууме на расстоянии r₁₂ друг от друга можно вычислить по:

(1)

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q₁, q₂,..., q_n.

Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:

. (2)

В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i№k). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N. Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:

, (3)

где j_i - потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.

Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд q_i, взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов q_i, но не на их образование.

Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов q_iиз бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:

. (4)

Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна (при q>0, j>0, следовательно W>0, если q<0, то j<0, но W>0).

12.

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками^[1].

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

где — заряд, — потенциал проводника.

Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):

где ε₀ — электрическая постоянная, равная 8,854·10⁻¹² Ф/м, ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость.

Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

13.

Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем

С учетом, что и

(16.4)

или

14.