Двухшаговый метод наименьших квадратов

Если система одновременных уравнений является сверхидентифицируемой, то оценить ее параметры с помощью косвенного метода наименьших квадратов, как уже было сказано, не представляется возможным. Однако для решения этой задачи существуют другие методы. Наиболее простой и надежный из них - двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК), предложенный Р. Басманом (1957 г.). Суть ДМНК сводится к выполнению следующих этапов:

1) исходя из структурной формы модели, строится ее приведенная форма;

2) с помощью обычного МНК определяются численные оценки параметров каждого уравнения приведенной формы;

3) выявляют эндогенные переменные, стоящие в правой части рассматриваемого структурного уравнения, и находят их расчетные значения по соответствующим оцененным уравнениям приведенной формы;

4) обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных:

· для результирующего фактора фактические значения соответствующей эндогенной переменной,

· для объясняющих факторов фактические значения предопределенных переменных и рассчитанные на этапе 3) значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Пример 4.7. Рассматривается следующая структурная модель:

(4.9)

Ей соответствует следующая приведенная форма:

(4.10)

Известны также следующие исходные данные:

Таблица 4.2.

n
Y 1
X 1
X 2

Определите структурные параметры первого уравнения.

Решение.

Модель содержит три эндогенные (Y ₁, Y ₂, Y ₃) и две экзогенные (X ₁, X ₂) переменные, поэтому N =3, M =2. При этом в первом уравнении присутствуют только две эндогенные переменные и ни одной экзогенной переменной. Следовательно, n =2 и m =0. Таким образом, выполняется строгое неравенство M - m > n -1, и уравнение, по-видимому, сверхидентифицируемо. Для его идентификации применим двухшаговый метод наименьших квадратов.

В условии уже задана приведенная форма исходной модели с оцененными параметрами.

Рассмотрим первое уравнение системы (4.9). В его правой части находится одна эндогенная переменная Y ₂. На основе соответствующего уравнения системы (4.10) и массивов фактических значений переменных X ₁ и X ₂ произведем расчет теоретических значений . Результаты расчетов приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3.

n
X 1
X 2

Далее к первому уравнению системы (4.9) применяется обычный МНК. Иначе говоря, находим МНК-оценки коэффициентов парной регрессии

.

В качестве исходных данных используются фактические значения переменной Y ₁ (вторая строка таблицы 4.2) и расчетные значения переменной (последняя строка таблицы 4.3). Вычисления производим непосредственно по формулам (1.5) для оценок параметров парной регрессии (см. параграф 1.2) или с помощью функции ЛИНЕЙН из ППП Excel. Окончательно получим:

и .

Таким образом, первое уравнение структурной модели имеет вид:

.

Эконометрические модели имеют большое значение для системного прогностического анализа разнообразных экономических процессов. Главное преимущество таких моделей - в непротиворечивости системы прогностических оценок, в возможности получения вариантов прогноза, в прямом выражении связи прогностических оценок с различными внешними связями.

Что же касается точности, то, как показывает опыт, системы одновременных уравнений дают прогнозы, не обязательно более точные, чем прогнозы, получаемые более простыми средствами (например, путем экстраполяции трендов).

Непосредственный прогноз значений на момент времени t=n+L генерируется подстановкой в приведенную форму прогнозных значений экзогенных (предопределенных) величин, получаемых независимо от концепций самой модели. Прогноз может считаться качественным лишь при выполнении следующих условий:

а) прогнозные значения величин экзогенных переменных находятся в окрестности реальных их значений;

б) до момента t=n+L параметры структурной формы не меняют существенным образом своих значений.

Поэтому любой прогноз на основе системы одновременных уравнений, особенно долгосрочный, будет в значительной степени условным.