Достаточное условие идентифицируемости

Уравнение является идентифицируемым (точно или сверх-), если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, но входящих в другие уравнения системы, равен N -1. При этом если соотношение (4.8) выполняется как равенство, то это уравнение является точно идентифицируемым; если же оно выполняется как строгое неравенство, то уравнение сверхидентифицируемо.

Замечание 4.1. Заметим, что в подавляющем числе систем одновременных уравнений выполнение необходимого условия почти гарантирует идентификацию. Это дало повод авторам некоторых пособий [11, 14] при рассмотрении конкретных примеров обращаться с необходимым условием как с достаточным, что, конечно, математически не корректно. В целом для большинства систем одновременных уравнений характерны следующие соотношения:

а) равенство M - m = n -1 обычно соответствует точно идентифицируемым уравнениям;

б) неравенство M - m > n -1 - сверхидентифицируемым уравнениям;

в) неравенство M - m < n -1 влечет неидентифицируемость уравнения.

Пример 4.5.

В рассмотренной выше системе одновременных уравнений (4.4) из примера 4.3 общее число эндогенных переменных N =2, а число предопределенных переменных M =1. Первое уравнение включает две эндогенные переменные (n =2) и одну экзогенную переменную (m =1). Следовательно, необходимое условие идентифицируемости не выполняется: M - m < n -1. Уравнение неидентифицируемо.

Второе уравнение включает две эндогенные переменные (n =2) и ни одной экзогенной переменной (m =0). Здесь необходимое условие идентифицируемости выполняется как равенство. Проверим достаточное условие. В этом уравнении отсутствует переменная y_t. Матрица из коэффициентов при переменной y_t состоит всего из одного столбца:

.

Очевидно, при a ₂¹0 ранг матрицы А равен 1, т.е. в точности N -1. Достаточное условие выполняется, уравнение точно идентифицируемо.

Пример 4.6.

Рассматривается следующая модель:

где C_t и C_{t- 1} - расходы на потребление соответственно в период t и в период t -1; Y_t - совокупный доход в период t; I_t и I_{t- 1} - инвестиции в период t и в период t- 1; r_t - процентная ставка в период t; M_t - денежная масса в период t; G_t - государственные расходы в период t; e _{1 t}, e _{2 t}, e _{3 t} - случайные ошибки.

Каждое уравнение проверить на выполнимость необходимого условия.

Решение.

Модель включает в себя четыре эндогенные переменные (C_t, Y_t, I_t, r_t) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные - M_t и G_t и две лаговые эндогенные переменные - C_{t- 1} и I_{t- 1}). Таким образом, N =4, M =4.

а. Первое уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (C_t и Y_t) и одну предопределенную переменную (C_{t- 1}). Поэтому n =2, m =1 и выполняется неравенство: M - m>n -1 (4-1>2-1).

Построим матрицу А₁, состоящую из коэффициентов при переменных, входящих в систему, но отсутствующих в первом уравнении. В первом уравнении отсутствуют переменные I_t, r_t, I_{t- 1}, M_t, G_t. Для удобства запишем матрицу А₁ в табличной форме.

Уравнения системы	Коэффициенты перед переменными:
It	rt	It- 1	Mt	Gt
Уравнение 1
Уравнение 2	-1	b 1	b 2
Уравнение 3		-1		g2
Уравнение 4

Рассмотрим минор третьего порядка, соответствующий первому, второму, пятому столбцам и последним трем строкам матрицы:

.

Нетрудно посчитать, что он равен 1, т.е. отличен от нуля. Следовательно, ранг матрицы А₁ равен N -1=3. Согласно достаточному условию, первое уравнение является сверхидентифицируемым.

б. Второе уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (I_t и r_t) и одну предопределенную переменную (I_{t- 1}). Поэтому, как и в первом случае, выполняется неравенство M - m>n -1.

Построим матрицу А₂, состоящую из коэффициентов при переменных, входящих в систему, но отсутствующих во втором уравнении. Во втором уравнении отсутствуют переменные С_t, Y_t, C_{t- 1}, M_t, G_t. Соответствующая матрица А₂ имеет вид:

Уравнения системы	Коэффициенты перед переменными:
Сt	Yt	Ct- 1	Mt	Gt
Уравнение 1	-1	a 1	a 2
Уравнение 2
Уравнение 3		g 1		g2
Уравнение 4		-1

Рассмотрим минор третьего порядка, соответствующий первому, четвертому, пятому столбцам и первой, третьей, четвертой строкам матрицы:

.

Следовательно, ранг матрицы А₂ равен N -1=3. Согласно достаточному условию, второе уравнение является сверхидентифицируемым.

в. Третье уравнение.

Это уравнение, как и второе, включает две эндогенные переменные (y_t и r_t) и одну предопределенную переменную (M_t). Снова выполняется неравенство M - m>n -1. Достаточное условие идентифицируемости для него также выполняется. Проверку условия предоставляем произвести читателю самостоятельно.

г. Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Таким образом, все уравнения системы являются сверхидентифицируемыми.