Косвенный метод наименьших квадратов

Непосредственное применение метода наименьших квадратов (МНК) для каждого из уравнений системы одновременных уравнений в структурной форме, как правило, приводит к получению смещенных и несостоятельных оценок. Обычно это происходит вследствие коррелированности одной или нескольких объясняющих переменных со случайным отклонением.

Для получения «хороших» оценок параметров модели необходимо использовать другие методы. Одним из таких возможных методов является косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), основанный на использовании приведенной формы модели.

КМНК включает следующие этапы:

1) Исходя из структурной формы модели, строится ее приведенная форма.

2) По МНК оцениваются параметры уравнений в приведенной форме.

3) На основе оценок параметров, найденных на этапе 2, оцениваются параметры структурных уравнений (если это возможно).

Пример 4.3. Рассмотрим модификацию модели «спрос–предложение» в виде следующей системы регрессионных уравнений:

(4.4)

где p_t, q_t – эндогенные переменные: цена и количество товара в году t; y_t – экзогенная переменная: доход потребителей; e_1t, e_2t – случайные отклонения.

Требуется оценить параметры этой модели по пяти наблюдениям переменных p_t, и y_t, представленным в нижеследующей таблице.

Таблица 4.1.

pt
qt
yt

Преобразуем данную систему в приведенную форму. Для этого вычтем из функции спроса функцию предложения. Получим:

(a ₀- b ₀)+(a ₁- b ₁)× p_t + a ₂× y_t +(e _{1 t} - e _{2 t}).

Отсюда последовательно находим выражения для p_t и q_t. Таким образом, приведенная форма исходной модели имеет вид:

(4.5)

где d ₁₀=(a ₀- b ₀)/(b ₁- a ₁), d ₁₁= a ₂/(b ₁- a ₁), d ₂₀= b ₀+ b ₁ d ₁₀, d ₂₁= b ₁ d ₁₁,

n _{1 t} =(e _{1 t} - e _{2 t})/(b ₁- a ₁), n _2t= b ₁n_1t+ e _{2 t}.

По имеющимся статистическим данным оценим коэффициенты приведенных уравнений (4.5), применяя формулы для МНК-оценок параметров парной регрессии (см. гл. 1):

По полученным оценкам нетрудно восстановить оценки параметров функции предложения (второго уравнения системы (4.4)). Действительно, из уравнений d ₂₀= b ₀+ b ₁ d ₁₀ и d ₂₁= b ₁ d ₁₁ выразим b ₀ и b ₁:

, .

Следовательно,

И функция предложения имеет вид: .

В то же время рассчитанные непосредственно по МНК оценки параметров данного уравнения будут:

Тогда функция предложения имеет вид, совсем отличный от выражения, рассчитанного с помощью косвенного МНК: .

Таким образом, непосредственное применение МНК в несоответствующих ситуациях может существенно исказить картину зависимости.

Существует и другой способ реализации косвенного МНК, несвязанный с теоретическим преобразованием структурной формы в приведенную форму, как это, например, было сделано выше при переходе от системы (4.4) к системе (4.5).

На первом этапе КМНК достаточно лишь обозначить вид приведенной формы, не выражая ее параметры через параметры структурной формы. Далее, как и выше, с помощью обычного МНК оцениваются параметры приведенной формы.

На третьем этапе с помощью простейших алгебраических операций полученные уравнения приведенной формы преобразуются в оцененные уравнения структурной формы.

Пример 4.4.

Структурная и оцененная приведенная формы модели имеют вид:

Оцените параметры первого и второго уравнений структурной формы.

Решение.

1) Правая часть первого уравнения структурной формы содержит переменные х ₁, х ₂ и у ₃. Правая часть первого уравнения приведенной формы содержит переменные х ₁, х ₂ и х ₃. Следовательно, преобразования приведенного уравнения должны быть направлены в сторону исключения из него переменной х ₂ и, наоборот, включения в него переменной у ₃.

Выразим переменную х ₂ из третьего уравнения приведенной формы:

.

Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы:

Þ .

Таким образом, получили следующие оценки параметров первого структурного уравнения: , , .

2) Для получения оценок параметров второго уравнения структурной формы используются более сложные преобразования. В первую очередь заметим, что это уравнение содержит все эндогенные переменные и всего лишь одну экзогенную переменную х ₂. Поэтому стратегической целью является исключение из второго уравнения приведенной формы переменных х ₁ и х ₃.

Помножим первое приведенное уравнение на (-1,5) и сложим со вторым приведенным уравнением:

Þ

.

Из полученного уравнения выразим х ₃:

. (4.6)

Помножим второе приведенное уравнение на (-2,5) и сложим с третьим приведенным уравнением:

Þ

.

Из полученного уравнения выразим х ₁:

. (4.7)

Подставим (4.6) и (4.7) во второе уравнение приведенной формы:

Þ

Þ

Þ .

Таким образом, оценки параметров второго структурного уравнения следующие: , , .