Приближение вещественных чисел рациональными

Как уже сказано выше, рациональных чисел счетное множество, а вещественных – континуум, то есть гораздо больше. Но есть некоторые свойства рациональных чисел, которые позволяют заменять вещественные числа рациональными.

Теорема 1. Для любого вещественного числа а и для любого найдутся два рациональных числа r ₁ и r ₂, такие, что:

а) б) .

(Обратите внимание, как может быть записана формулировка этой теоремы:

Правда, короче?)

Доказательство.

Возьмем любое . Так как по смыслу мало, то пусть оно имеет вид: Рассмотрим число , равное, очевидно . Пусть а >0. Распишем его:

Предположим, что n –ая цифра после запятой . Рассмотрим числа

Тогда можно сказать, что

а) r ₁ и r ₂ - рациональные числа, так как у обоих из них бесконечные «хвосты» из девяток;

б) , так как ;

в) , так как у r ₂ после a_n все девятки, а у числа а хотя бы одна цифра не будет девяткой.

г) , так как у e на n -м месте стоит e _n, а у разности на n -ом месте стоит .

Тем самым, построенные числа r ₁ и r ₂ удовлетворяют всем условиям теоремы. <

Подумайте сами, что надо изменить в доказательстве, если окажется, что .

Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел a и b, не равных друг другу, найдется такое рациональное число r, которое будет расположено между ними.

( веществ. а, b а ≠ b рацион. r a < r < b)

Доказательство.

1. Пусть для определенности а < b и а >0. Тогда числа а и b имеют вид:

Так как а < b, то найдется такая цифра с номером n, что но (то есть ).

В числе b после n -й цифры могут быть нули, но бесконечного «хвоста» из нулей быть не может, это запрещено. Поэтому b обязано иметь вид

где b_p – первая цифра после следующей за b_n серии нулей, такая, что (то есть ).

Возьмем r в виде

Тогда ясно, что

а) r – рациональное число, так как у него бесконечный «хвост» из девяток;

б) а < r, так как а_n < b_n.

в) r < b, т.к. (b_p -1) < b_p.

Построение r удовлетворяет всем требованиям нашей теоремы.

2. Пусть теперь а <0 и b >0. Тогда можно взять r = 0.

3. Пусть, наконец, a <0, b <0 и b < a. Тогда | a | < | b | и, согласно п.1, найдется такое рациональное число r, что | a | < r < | b |. Но тогда b < - r < a. Теорема доказана.<

Указанные две теоремы образуют то, что математики называют «плотностью» рациональных чисел относительно множества вещественных чисел. Это свойство плотности играет важную роль в доказательстве целого ряда теорем.