Операции над множествами. 1. Вхождение или включение множеств

1. Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входит во множество В (обозначение А Ì В) или множество В включает множество А (обозначение В É А) если из того, что некоторый элемент a Î A следует, что a Î В (запись ).

Эту операцию можно пояснить следующим рисунком. Из него видно, что если А Ì В, то множество В шире множества А, то есть содержит бóльшее число элементов.

Если одновременно А Ì В и В Ì А, то означает, что множества А и В совпадают, или равны друг другу (обозначение А = В).

2. Объединение или сумма множеств.

Множество С называют объединением или сумой множеств А и В (обозначение С = А È В) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, то есть a Î С означает, что a Î A, или a Î В или a Îи А и В одновременно. Это можно записать так: , где знак Ú есть символ логического сложения (читается «или»). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция È обладает обычными свойствами:

1) А È В = В È А;

2) А È(В È С)=(А È В) È С.

Для суммы множеств А ₁, А ₂,…, А_n используют обозначение .

3. Пересечение или произведение множеств.

Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В (обозначается С = А Ç В) если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству В. Это можно записать так: где знак Ù есть символ логического умножения (читается «и»). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция Ç обладает свойствами:

1) А Ç В = В Ç А;

2) А Ç(В Ç С)=(А Ç В) Ç С.

По отношению друг к другу операции Ç и È обладают следующими свойствами:

1). (А È В) Ç С =(А Ç С) È(В Ç С)

(сравните с обычным соотношением из алгебры (a + b)c= ac + bc)

2). (А Ç В)È С =(А È С) Ç(В È С)

Для пересечения множеств А ₁, А ₂,… А_n используют символ .

4. Вычитание или разность множеств.

Множество С называется разностью множеств А и В (обозначается С = А \ В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В. (Это можно записать так: ). Данный рисунок поясняет эту операцию.

В дальнейшем нам наиболее часто придется иметь дело с двумя множествами.

N ={1, 2, 3, 4,... } – множество всех целых положительных чисел и

Z ={0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4,... } – множество всех целых чисел.

1.3 Сравнение множеств по числу элементов.

Пусть даны два множества: А ={ a, b, c } и B ={a, b, g}. Спрашивается: в каком множестве больше элементов. Или даны два множества А ={ a, b, c } и С ={1, 2, 3, 4}. Где больше элементов?

Видимо, на этот вопрос ответят все и на дополнительный вопрос: «А как Вы это узнали?» также ответят просто: сосчитали. В множестве А 3 элемента, в множестве В – тоже 3, в множестве С – 4, так что ответ очевиден.

Но вот более сложный вопрос: даны два множества N ={1, 2, 3, 4, …} и D ={2, 4, 6, 8,…}. В каком множестве больше элементов? И на сам собой напрашивающийся ответ: «конечно, их больше в N. Больше в 2 раза» можно спросить: «А как Вы это узнали? Неужели сосчитали? Но ведь в этих множествах бесконечное число элементов, так что сосчитать Вы никак не могли».

Или: даны 2 отрезка - AB и CD:

На каком отрезке больше точек? И на ответ «Конечно, на CD, ведь он длиннее», так же возразить «Неужели Вы сосчитали точки?»

Поэтому встает проблема сравнения двух множеств по числу элементов, не считая их. И это можно сделать, например, так (см. самый первый пример).

A	a	b	c		A	a	b	c
B	a	b	g		C

В первом случае ясно, что во множествах А и В одинаковое число элементов, а во втором, что в С больше элементов. Заметьте, что в этом случае нет необходимости считать элементы, ответ получается без счета. Оформим этот момент в виде двух точных определений.

Определение 1 Пусть даны два множества А и В. Правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В оказывается поставленным в соответствие один и только один элемент множества А называется взаимно-однозначным соответствием между множествами А и В.

Теперь ясно, что было сделано. Между множествами А ={ a, b, c } и B ={a, b, g} было установлено взаимно-однозначное соответствие (), а между множествами А и С этого сделать не удастся.

Определение 2 Если между множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны по числу элементов (или: «имеют одинаковое число элементов»; или «имеют одинаковую мощность»).

Теперь можно ответить и на вопрос о бесконечных множествах. Рассмотрим множества N и D. Ясно, что между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

N					…	n	…
D					…	2 n	…

И поэтому, в этих множествах одинаковое число элементов. Четных чисел столько же, сколько и всех натуральных!

В отношении двух отрезков вопрос также решается очень просто. Проделав построение, указанное на рисунке, получим, что между точками отрезков АВ и CD установлено взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, на этих двух отрезках одинаковое число точек (несмотря на то, что отрезок CD длиннее отрезка АВ).

В чем же была ошибка? Она была в том, что на бесконечные множества были перенесены свойства конечных множеств. Но ведь бесконечность – очень сложная штука, и с ней надо обращаться очень осторожно. Ведь человек – существо конечное (в нем, например, конечное число молекул), как же он может моделировать бесконечные множества?

1.4 Счетные множества.

Определение Множества, эквивалентные по числу элементов множеству N ={1, 2, 3, 4, …} называются счетными множествами.

Примеры счетных множеств:

{2, 4, 6, 8, …}

{1, 4, 9, 16, 25, …} {1, 8, 27, 64, 125, …}

Свойства счетных множеств изложим, пользуясь терминологией математики, т.е. громко именуя их теоремами.

Теорема 1. Для того, чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде А ={ a ₁, a ₂, a ₃,…} (то есть в так называемой форме последовательности).

Прежде, чем доказывать эту теорему, напомним, что такое необходимое и что такое достаточное условие. Пусть имеется некоторое утверждение. Любое следствие из него называется необходимым условием этого утверждения.

Любое условие, из которого следует наше утверждение, называется достаточным условием.

Соотношение между этими понятиями может быть пояснено и таким рисунком:

Можно написать и так:

Достаточное условие Ì утверждение Ì необходимое условие.

То, что нам надо доказать, выглядит теперь так:

Ну, а теперь