Множества мощности континуума

Итак, мы познакомились с одним типом бесконечных множеств – счетными множествами. А есть ли другие типы бесконечных множеств, то есть также бесконечных, но не являющихся счетными. Оказывается, есть.

Теорема. Отрезок [0,1] есть бесконечное несчетное множество.

Доказательство этой теоремы будем вести методом от противного. Напомним, в чем его суть: некоторое утверждение А истинно тогда и только тогда, когда противоположное ему утверждение ложно:

Поэтому, вместо того, чтобы доказывать, что , доказывают, что

Доказательство

То, что отрезок [0,1] есть бесконечное множество – очевидно.

1. Предположим противное, то есть то, что отрезок [0,1] есть счетное множество. Тогда все его точки можно представить в форме последовательности .

(Обратите внимание на слова «все его точки». В последовательности стоят именно точки, а не изображающие их числа!).

2. Поставим каждой точке в соответствие вещественное число, согласно описанной выше процедуре. Ясно, что все эти числа будут иметь знак + и их цифра перед запятой будет равна 0.

Обратите внимание на то, что вместо точек появились числа, и на индексацию цифр. Чему соответствует верхний индекс и что определяет нижний индекс?

3. Построим особое число .

по следующему правилу:

а) его знак +, перед запятой стоит 0

б) первая цифра после запятой – любая, кроме .

в) вторая цифра после запятой – любая, кроме .

…………………………………

г) вообще, n -я цифра после запятой – любая, кроме .

Обратите внимание, что при построении снова был использован прием диагонализации. Требование связано с запретом на числа вида

4. Что же хорошего можно сказать о точке , соответствующей числу ?

а) во-первых ясно, что : об этом говорит то, что перед запятой стоит комбинация +0.

б) но, с другой стороны, ; ; … Вообще, для любого n . Поэтому

Вот тут и кроется противоречие. Ведь в п.1 предполагалось, что в последовательности перебраны все точки интервала [0,1]. И вдруг оказалась, что есть еще одна точка из этого же интервала, которой нет в этой последовательности. Получившееся противоречие доказывает нашу теорему. <

Определение. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума.