Вычисление профиля скорости течения ньютоновской жидкости в зазоре между цилиндрами

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося ламинарного сдвигового течения ньютоновской жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами при вращении внешнего цилиндра с постоянной угловой скоростью W, может быть записана [2, 35] в виде уравнения движения

, (8.18)

с граничными (краевыми) условиями:

– при r = R ₀

ω_φ (R ₀) = 0; (8.19)

– при r = R

ω_φ (R) = W R,(8.20)

где ω_φ = ω_φ(r) – проекция вектора скорости на аксиальную координату φ, зависящая от радиальной координаты r цилиндрической системы координат; R ₀ – наружный радиус внутреннего неподвижного цилиндра (ω_φ(R ₀) = 0); R – внутренний радиус внешнего цилиндра, вращающегося с постоянной скоростью (8.20).

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (8.18), получим

или

.

После интегрирования последнего выражения получаем

или

.

Для определения постоянных интегрирования С ₁ и С ₂ воспользуемся граничными условиями (8.19) и (8.20) и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

откуда следует, что

а профиль скорости можно вычислить по формуле

. (8.21)