Распределение касательного напряжения по радиусу при установившемся ламинарном течении ньютоновской жидкости в зазоре между коаксиальными цилиндрами

Примем во внимание, что для сдвигового течения в зазоре между коаксиальными цилиндрами закон течения ньютоновской жидкости имеет вид [33, 35]:

. (8.3b)

Подставив профиль скорости течения (8.21) в (8.3b), можно легко получить распределение касательных напряжений τ в зазоре между двумя цилиндрами в случае, когда внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращается со скоростью ω_φ (R) = W R, где W – угловая частота вращения, имеющая размерность [рад/с].

Рассмотрим процесс вывода искомой зависимости касательного напряжения τ = τ(r) от радиальной координаты r. Сначала преобразуем (8.21) к виду

.

После этого вычислим производную

,

а затем получим искомое выражение для вычисления зависимости τ от радиальной координаты r:

. (8.22)

Графики, иллюстрирующие распределение профиля скорости ω_φ (r) и касательного напряжения (напряжения сдвига) τ(r) по радиальной координате r, построенные по данным табл. 8.1, представлены на рис. 8.5.

8.1 Зависимость ω_φ(r) / (W R)иτ(r) / τ(R) от отношения r / R при R ₀ = 0,9 R

r / R	ωφ (r) / (W R)	τ(r) / τ(R)
0,90		1,1111
0,92	0,208	1,0869
0,94	0,412	1,0638
0,96	0,612	1,0417
0,98	0,808	1,0204
1,00		1,0000

Рис. 8.5 Зависимость относительной скорости ω_φ(r) / (W R) и относительного напряжения сдвига τ(r) / τ(R) от радиальной координаты r в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами (внутренний цилиндр неподвижен,
а внешний – вращается с постоянной скоростью ω_φ(r) = W R),
рассчитанные по формулам (8.21) и (8.22) при R ₀ = 0,9 R