Распределение касательного напряжения по радиусу при течении ньютоновской жидкости в круглой трубе

Найдем величину касательного напряжения на внутренней поверхности стенки трубы в условиях установившегося ламинарного течения с параболическим профилем скорости. Для этого рассмотрим соответствующий участок трубы длинной Δ L, представленный на рис. 8.4.

Рис. 8.4 Распределение скорости ωz(r) и касательного напряжения τ(r) по радиусу r круглой трубы

Если на участке трубы длиной Δ L (с установившимся ламинарным потоком ньютоновской жидкости) действует перепад давления Δ Р _у = P (z ₁) – P (z ₂), то сила Δ Р _у π R ², действующая на площадь S =π R ² поперечного сечения трубы, должна быть равна и направлена встречно силе τ 2π R Δ L, создаваемой касательным напряжением τ на площади 2π R Δ L внутренней поверхности этого участка длинной Δ L, т.е.

,

или

. (8.16)

Распределение касательного напряжения τ по радиусу круглой трубы при течении ньютоновской жидкости можно найти после подстановки профиля скорости (8.10) в закон Ньютона (8.3):

. (8.17)

Знак минус в последнем соотношении появился потому, что = , так как Δ Р _у = P (z ₁) – P (z ₂) = –[ P (z ₂) – P (z ₁)], Δ L = z ₂ – z ₁. Видно, что на оси трубы при r = 0 касательное напряжение принимает минимальное значение

τ_min = 0,

а максимальное по абсолютной величине значение касательного напряжения

(8.16а)

достигается при r = R, т.е. на внутренней поверхности стенки трубы.

Обратите внимание, что при подстановке r = R в (8.17) получаем максимальное значение касательного напряжения (8.16а), совпадающее с ранее полученной (из физических соображений) величиной (8.16).

Изотермическое ламинарное безнапорное сдвиговое течение ньютоновской жидкости в зазоре между двумя коаксиально расположенными цилиндрами при вращении внешнего цилиндра с постоянной угловой скоростью