Выпуклость функции. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх(вниз) на интервале , если график функции находится под (над) касательной

касательную к графику функции в точке . Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

(2)

Теперь проведем касательную к графику функции в точке . Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

. (3)

Сложим неравенства (2) и (3), и после простых преобразований получим

.

Итак, если , то , т.е. производная является невозрастающей (неубывающей) функцией.

2 1. Возьмем произвольную точку на интервале и покажем, что график функции находится под (над) касательной, проведенной в точке , т.е. для любой точки . Возможны два случая: или .

Если , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке , получим

, . (4)

Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то из следует . Отсюда и равенства (4) имеем

.

Если же , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке , получим

, . (5)

Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то из неравенства следует . Отсюда и равенства (5) имеем

. ■

Следствие. Функция дважды дифференцируема на интервале . Тогда равносильны условия.

1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .

2. Вторая производная неположительна (неотрицательна) на интервале .

Доказательство. Используя теорему 8.4 и второе утверждение теоремы 8.1, в котором роль функции играет производная, получим следующую цепочку равносильных утверждений:

функция выпукла вверх(вниз)на интервале

производная не возрастает (не убывает) на интервале

производная на интервале . ■