Локальные экстремумы функции

Пусть функция определена в окрестности точки , т.е. определена на интервале , ). Если в точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в окрестности , то точку называют точкой локального максимума (минимума). Эти точки называют также точками локального экстремума функции. Теперь из теоремы Ферма вытекает необходимый признак локального экстремума.

Теорема 8.2. Функция определена в окрестности точки , и в этой точке существует производная. Если — точка локального экстремума функции, т.е. точка локального максимума или минимума, то . ■

В точке локального экстремума функция может быть не дифференцируема. Примером такой функции может служить функция , которая в точке имеет локальный минимум, но не дифференцируема в этой точке. Точки локального экстремума функции являются критическими, но обратное утверждение в общем случае неверно. Ниже будет доказана теорема, позволяющая установить, когда критическая точка функции является точкой локального экстремума.

Лемма. Функция непрерывна на интервале и на этом интервале имеет производную, кроме точки . Тогда справедливы утверждения.

1. Если на , то при любом .

2. Если на , то при любом .

Доказательство 1. Возьмем произвольную точку и . Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:

,

.

2. Возьмем произвольное число и . Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:

,

. ■

Теорема 8.3 (достаточное условие локального экстремума). Функция непрерывна на интервале и на этом интервале имеет производную, кроме точки . Тогда справедливы утверждения.

1. Если на интервале и на интервале , то точка — точка локального минимума функции .

2. Если на интервале и на интервале , то точка — точка локального максимума функции .

3. Если или на интервале , то точка не является точкой локального экстремума функции .